泊松括號

在數學及傳統力學中,泊松括號是哈密頓力學重要的運算,是哈密頓表述的動力系統中時間推移的定義。因Siméon-Denis Poisson而命名。

定義

泊松括號是雙線性映射把兩個在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函數映射到一個函數。具體來講，如果我們有兩個函數f和g, 則

$\{f,g\}={\tilde {\omega }}(df,dg)$

這裏的 ω 是辛形式(symplectic form), ${\tilde {\omega }}$是雙向量，使得若把 ω 看成為從向量到微分形式的映射, ${\tilde {\omega }}$ 則是從微分形式到向量的線性映射，對所有微分形式 α滿足$\omega ({\tilde {\omega }}(\alpha ))=\alpha$,這裏d表示外導數. 雙向量 ${\tilde {\omega }}$ 有時稱為辛流形上的泊松結構。

正則座標

在相空間里，用正則座標 $(q^{i},p_{j})$ ，兩個函數$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 的泊松括號記作:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right]$.

李代數

泊松括號符合反交換律。滿足雅戈比恆等式.這使得辛流形上的平滑函數空間成為無限維的李代數，以泊松括號為李括號.相應的李群是辛流形的辛同胚群(稱為正則變換).

給定一個可微分的切叢上的向量場 X, 令$P_{X}$為其共軛動量(conjugate momentum). 這個從場到共軛動量的映射為李代數 從泊松括號到李括號的反同態(anti-homomorphism):

$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}\,$。

這個重要結構值得我們給個簡短證明. 記組態空間的q點的向量場X為

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

其中$\partial /\partial q^{i}$ 是局部坐標系. X的共軛動量的表達式為

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

這裏$p_{i}$為和坐標共軛的動量函數. 這樣就有,對相空間的每點$(q,p)$,

$\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)=\sum _{i}\sum _{j}\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\}$

$=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}$

$=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)$

$=-P_{[X,Y]}(q,p)\,$

以上對所有$(q,p)$成立,證畢.

時間演變

辛流形上的函數f的隨時間的演變可以辛同胚的單參數族的形式給出,時間t就是那個參數.對時間的全微分如下

${\frac {d}{dt}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\{\,f,H\,\}={\frac {\partial }{\partial t}}f-\{\,H,f\,\}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\,\}\right)f.$

這裏的H是一個用作該系統的哈密頓量的函數。

泊松代數

• 泊松代數

參考

• 超泊松代數
• 超泊松括號