二十面体半形

{6,5}
	; 左：皮特里大十二面体; 右：皮特里小星形十二面体
类别	皮特里对偶; 正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号	皮特里大十二面体：{5,5/2}π; 皮特里小星形十二面体：{5/2,5}π
性质
面	10
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=10, E=30, V=12 （χ=-8）
二面角	(不存在)
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
	扭歪、正则
	查; 论; 编;

皮特里二十面体
	; (以不同颜色表示每个面)
类别	皮特里对偶; 正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号	{3,5}π
性质
面	6
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=6, E=30, V=12 （χ=-12）
二面角	(不存在)
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
	扭歪、正则
	查; 论; 编;

二十面体半形
类别	抽象多胞形（英语：Abstract polytope）; 射影多面体（英语：projective polyhedron）
对偶多面体	十二面体半形
数学表示法
施莱夫利符号	{3,5}/2 or {3,5}5
性质
面	10
边	15
顶点	6
欧拉特征数	F=10, E=15, V=6 （χ=1）
组成与布局
顶点图	3.3.3.3.3
对称性
对称群	A5, 60阶
特性
	不可定向、欧拉示性数
图像
	; 3.3.3.3.3; （顶点图）
	; 十二面体半形; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在抽象几何学中，二十面体半形 是一种抽象正多面体，有着正二十面体一半的面。二十面体半形可被视为是一种影射多面体，可视为由十个三角形构成的实射影平面镶嵌，要将其视觉化，可以透过将射影平面构筑为一个半球体，其边界上的对跖点连结了半球体，并将半球体分成了三等分。

性质

二十面体半形是一种抽象正多面体（英语：Abstract regular polytope），共由10个面、15条边和6个顶点组成；其中所有10个面都是正三角形、每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{3,5}₅或{3,5}/2来表示，其中{3,5}代表且每个顶点都是5个正三角形的公共顶点，然而{3,5}代表正常的正二十面体，因此用{3,5}₅符号来表示二十面体半形^[1]。二十面体半形的皮特里多边形为五边形^[2]

具象化

二十面体半形是一个抽象多面体，其无法实体存在，但可以透过一些手段来具象化。其中一种方式是使用其对应的正则地区图来具象化。二十面体半形对应的正则地区图可被具象为一个五维空间扭歪正多面体，该多面体所有6个顶点和15条边皆位于五维正六胞体上^[3]，而原有五维正六胞体有20个三角形面，而对应的二十面体半形之扭歪多面体具象化则仅交错地取其中10个面^[4]，并且相邻的2个面位于相同三维平坦空间中，但整体立体不位于相同三维空间中，因此是一个扭歪多面体。^[5]

在拓朴学上，二十面体半形与四面半六面体相关。若将四面半六面体的每一个正方形面替换为2个三角形，则所形成的立体若只看面之间的相邻关系，会与二十面体半形无异，即每个顶点都是5个三角形，且由10个面（4个正三角形与6个直角三角形）、15条边（12条四面半六面体的边与3条正方形面替换为2个三角形时形成的边）和6个顶点组成。^[6]

图像

二十面体半形的边，顶点可以对称地表示为一个施莱格尔图（英语：Schlegel digram）。

以为面中心

完全图K6

二十面体半形和五维正六胞体有着相同的边以及顶点，但只有其一半数量的面^[4]。而五维正六胞体对应的骨架图为 $K_{6}$ 完全图，即有着六个顶点的完全图^[4]，因此图论的角度来看，二十面体半形可以视为是嵌入于实射影平面 $K_{6}$ 完全图。其对应的对偶图皮特森图也对应到了二十面体半形的对偶多面体十二面体半形。

相关多面体

相关皮特里对偶

部分皮特里对偶与正二十面体或其半形体相关，例如二十面体半形的皮特里对偶或正二十面体的皮特里对偶。^[10]

二十面体半形的皮特里对偶

二十面体半形的皮特里多边形为五边形^[2]，其对应的皮特里对偶为每个顶点由5个五边形（二十面体半形的皮特里多边形）组成的抽象多面体。这个抽象多面体是一个自身对偶多面体，并且可以被小星形十二面体、大十二面体或其他等价于亏格为5的{5,5}几何结构（的表面）二重复盖^[10]^[11]。这个几何体对应的骨架图与二十面体半形相同，皆为K₆完全图。^[10]

皮特里二十面体

皮特里二十面体是正二十面体的皮特里对偶，可以透过将原有正二十面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里二十面体为由正二十面体的皮特里多边形构成的立体^[12]。由于正二十面体的皮特里多边形为扭歪十边形，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。

皮特里二十面体是一个不可定向且亏格为14的几何结构^[13]。皮特里二十面体共有6个面、30条边和12个顶点。其中面由6个扭歪十边形面组成，每个顶点都是5个扭歪十边形的公共顶点。^[13]

二十面体的皮特里多边形	构成皮皮特里二十面体的扭歪十边形面

皮特里二十面体与正二十面体互为皮特里对偶，也就是说，皮特里二十面体的皮特里对偶为正二十面体，换句话说，即皮特里二十面体的皮特里多边形为三角形^[13]^[14]。

皮特里大十二面体与皮特里小星形十二面体

皮特里大十二面体是大十二面体的皮特里对偶，由大十二面体的皮特里多边形组成。由于大十二面体与小星形十二面体对应相同的正则地区图^[15]，因此皮特里大十二面体对应的正则地区图也与皮特里小星形十二面体相同，皆由10个面、30条边和12个顶点组成^[16]。

构成皮特里大十二面体的扭歪六边形面	构成皮特里小星形十二面体的扭歪六边形面

其对应的骨架为正二十面体。^[15]

名称	构成面
皮特里二十面体	扭歪十边形
皮特里大十二面体	扭歪六边形

参见

四维正十一胞体 - 一个由十一个二十面体半形构成的抽象多胞体。
十二面体半形
立方体半形
八面体半形

参考文献

^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
^ ^2.0 ^2.1 Monson, Barry and Ivić Weiss, Asia. Cayley graphs and symmetric 4-polytopes. Ars Mathematica Contemporanea. 2008, 1 (2).
^ Coxeter, Harold Scott Macdonald, Twelve geometric essays, Carbondale: Southern Illinois University Press: 80, 1968
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Séquin, Carlo H, A 10-Dimensional Jewel, Gathering for Gardner G4GX, Atlanta, GA, 2012
^ Coxeter, HSM, A symmetrical arrangement of eleven hemi-icosahedra, North-Holland Mathematics Studies (Elsevier), 1984, 87: pp. 103–114
^ Gailiunas, Paul; et al, Polyhedral Models of the Projective Plane, Bridges 2018 Conference Proceedings, 2018: 543–546
^ ^7.0 ^7.1 The Hemi-Soccer Ball. wmich.edu.
^ ^8.0 ^8.1 The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
^ Séquin, Carlo and Hamlin, James. The regular 4-dimensional 57-cell. ACM SIGGRAPH 2007 Sketches, SIGGRAPH'07. 2007-08. doi:10.1145/1278780.1278784.
^ ^10.0 ^10.1 ^10.2 C5:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
^ S4:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
^ ^13.0 ^13.1 ^13.2 N14.3′. Regular Map database - map details. [2021-08-05].
^ The icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-08-04].
^ ^15.0 ^15.1 S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].
^ N10.5′. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].

外部链接

二十面体半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Abstract_Regular_Polytopes_2002-3] McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0

[monson2008cayley-4] 2.0 ^2.1 Monson, Barry and Ivić Weiss, Asia. Cayley graphs and symmetric 4-polytopes. Ars Mathematica Contemporanea. 2008, 1 (2).

[coxeter1968twelve-5] Coxeter, Harold Scott Macdonald, Twelve geometric essays, Carbondale: Southern Illinois University Press: 80, 1968

[sequin201210-6] 4.0 ^4.1 ^4.2 Séquin, Carlo H, A 10-Dimensional Jewel, Gathering for Gardner G4GX, Atlanta, GA, 2012

[coxeter1984symmetrical-7] Coxeter, HSM, A symmetrical arrangement of eleven hemi-icosahedra, North-Holland Mathematics Studies (Elsevier), 1984, 87: pp. 103–114

[gailiunas2018polyhedral-8] Gailiunas, Paul; et al, Polyhedral Models of the Projective Plane, Bridges 2018 Conference Proceedings, 2018: 543–546

[hemisoccerball-9] 7.0 ^7.1 The Hemi-Soccer Ball. wmich.edu.

[Regular_Map_hemi-icosidodecahedron-10] 8.0 ^8.1 The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30].

[Sequin_2007-11] Séquin, Carlo and Hamlin, James. The regular 4-dimensional 57-cell. ACM SIGGRAPH 2007 Sketches, SIGGRAPH'07. 2007-08. doi:10.1145/1278780.1278784.

[Regular_Map_petrial_hemi-icosahedron-12] 10.0 ^10.1 ^10.2 C5:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30].

[Regular_Map_S4:{5,5}-13] S4:{5,5}. Regular Map database - map details. [2021-07-30].

[Gorini,_Catherine_2000-16] Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647

[Regular_Map_petrial_icosahedron-17] 13.0 ^13.1 ^13.2 N14.3′. Regular Map database - map details. [2021-08-05].

[Regular_Map_icosahedron-18] The icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-08-04].

[Regular_Map_small_stellated_dodecahedron,_great_dodecahedron_embedded-21] 15.0 ^15.1 S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].

[Regular_Map_petrial_small_stellated_dodecahedron,_petrial_great_dodecahedron_embedded-22] N10.5′. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]