点积

数学中，点积（也称为标量积或内积）是一个半双线性函数 (·) : V × V → F，这里 V 是域 F 上的满足一定性质的向量空间。即它将一个向量有序对映射到一个标量（如域上的一个元素）a 和 b 的点积一般写作 <a, b> 或者<a|b>。

定义

点积的形式定义请参看内积空间。

点积可以直观地定义为

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \;$,

这里 |x| 表示 x 的范数（长度），θ 表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a 和 b 的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a 和 b 都是单位向量（长度为 1 ），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a\cdot b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于 1 的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 $\mathbb {R} ^{n}$ ($n\leq 3$)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

点积可以用来计算合力和功。若 b 为单位向量，则点积即为 a 在方向 b 的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

性质

• 点积满足交换律：

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} \;$。

• 两个非零向量 a 和 b 垂直当且仅当 a · b = 0。

• 点积是个双线性算子：

$\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\;$。

由此可得，向量 a = [a₁ a₂ a₃] 和 b = [b₁ b₂ b₃] 的点积可以这样计算：

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\;$,

或者，采用矩阵乘法，将向量当作 1 × 3 的矩阵：

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {ab} ^{T}\;$

这里，b^T 表示 b 的转置。

点积满足所有内积空间的公理。在抽象的向量空间，两个元素之间的角度可以通过内积来定义。

两种定义的等价性的证明

从定义

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \;$.

可以得到定理

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\;$

为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。

注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到 n 维的情形。

考虑向量

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} \;$.

重复使用勾股定理得到

$|\mathbf {v} |^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$.

而根据第二个定义

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$,

所以，向量 v 和自身的点积就是其长度的平方。

引理 1

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {v} |^{2}\;$

现在，考虑两个从原点出发的向量 a 和 b，夹角 θ。第三个向量 c 定义为

$\mathbf {c} \equiv \mathbf {a} -\mathbf {b} \;$,

构造以 a，b，c 为边的三角形，采用余弦定理，有

$|\mathbf {c} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2}-2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \;$.

根据引理 1，用点积代替向量长度的平方，有

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \;$.                   (1)

同时，根据定义 c ≡ a − b，有

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\;$,

根据分配律，得

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\;$.                       (2)

连接等式 (1) 和 (2) 有

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \;$.

简化等式即得

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \;$,

Q.E.D.

应用

物理学 力学的力做功的问题,经常用到点积计算。

计算机图形学常用来进行方向性判断，如两向量点积大于0,则它们的方向朝向相近；如果小于0,则方向相反。

此方法被用于卡通渲染(Toon-Rendering).

参见

• 叉积