珠算

珠算，義為使用算珠來進行計算的方法，一般特指用中式算盤來計算。其對四則運算統整出了一套系統系的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國古代，《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。 不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

東亞式算盤算法

運珠法

有兩種方式：

1. 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
2. 單手運珠，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盤

一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：

• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。
• 中指拨上珠靠梁和离梁。

一四珠算盤

（或一五珠算盤）：兩个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

一五珠算盤

兩个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

布数法

布数法是指表現數字的算珠擺放方式。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

加法

原則為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）1937+284

• 置數：

1937	=1937

• 逐檔相加：

	→		→
+200		+80		+4	=2221

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

加数	不进位加		进位加
	直加	满五加	进十加	破五进十加
一	一上一	一下五去四	一去九进一
二	二上二	二下五去三	二去八进一
三	三上三	三下五去二	三去七进一
四	四上四	四下五去一	四去六进一
五	五上五		五去五进一
六	六上六		六去四进一	六上一去五进一
七	七上七		七去三进一	七上二去五进一
八	八上八		八去二进一	八上三去五进一
九	九上九		九去一进一	九上四去五进一

以 +3 為例:

• 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
• 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
• 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

減法

原則為同位值相減，不夠借位，計算時由又高位檔向低位檔依次相減。

（例）1756-957

• 置數

1756

• 逐檔相減

	→		→
-900		-50		-7	=799

口诀

可輔助學習，熟練後亦可不用。

减数	不退位减		退位减
	直减	破五减	退位减	退十补五减
一	一去一	一上四去五	一退一还九
二	二去二	二上三去五	二退一还八
三	三去三	三上二去五	三退一还七
四	四去四	四上一去五	四退一还六
五	五去五		五退一还五
六	六去六		六退一还四	六退一还五去一
七	七去七		七退一还三	七退一还五去二
八	八去八		八退一还二	八退一还五去三
九	九去九		九退一还一	九退一还五去四

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。 「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。 「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

負數

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

乘法

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

$32*97$

$=32*(90+7)$

$=32*90+32*7$

更進一步分解，

$=(30+2)*90+(30+2)*7$

$=30*90+2*90+30*7+2*7$

計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口誤——九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

• 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
  • 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。
• 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
  • 破頭乘法，又稱頭乘法
  • 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。

此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。

看頭乘法

破頭乘法

新頭乘法

（例）32×97

	→		→		→
32		算「2」字		2×90		+2×7
	→		→		→
		算「3」字		+30×90		+30×7	=3104

湊倍乘法

除法

原理跟長除法類似。其計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

商除法

以 1542÷31 為例

簡易商除法

動作	盤面（商）	盤面（餘）	說明	等效長除法
置數			在算盤的兩處分別放置商和餘	${\begin{matrix}31{\overline {{\big )}1542}}\\\end{matrix}}$
估商			在商的十位放置 4	${\begin{matrix}\quad \quad 4\\31{\overline {{\big )}1542}}\\\end{matrix}}$
減積			以被減數上的十位為準，減去 $31\times 4=124$	${\begin{matrix}\quad \quad 4\\31{\overline {{\big )}1542}}\\-124\\\hline \quad \quad 302\\\end{matrix}}$
估商			在商的個位放 9	${\begin{matrix}\quad \quad 4\\31{\overline {{\big )}1542}}\\-124\\\hline \quad \quad 302\\\end{matrix}}$
減積			以被減數上的個位為準，減去 $31\times 9=279$	${\begin{matrix}\quad \quad 4\\31{\overline {{\big )}1542}}\\-124\\\hline \quad \quad 302\\\quad -279\\\hline \quad \quad 23\\\end{matrix}}$

得到 1542÷31=41..23 。

而在一個算盤上，要同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商 以 772÷31 為例：

商除法

動作	盤面	說明	等效長除法
置數		在算盤的上放置被減數（商一開始為 0）	${\begin{matrix}31{\overline {{\big )}772}}\\\end{matrix}}$
估商		因為 77 大於等於 31 夠除，所以隔位置商，所以千位檔空著，萬位檔放 2。 盤面數字為 2"0772，2 為商，772 為被除數	${\begin{matrix}\quad 2\\31{\overline {{\big )}772}}\\\end{matrix}}$
減積		以十位檔為準，減去 $2\times 31=62$ 盤面數字為 2"0152，2 為商，152 為減積後的結果	${\begin{matrix}\quad 2\\31{\overline {{\big )}772}}\\-62\\\hline \quad 152\\\end{matrix}}$
估商		因為 15 不夠 31 除，所以挨檔置商，千位檔放 4。 盤面數字為 24"152，24 為商，152 為被除數	${\begin{matrix}\quad 24\\31{\overline {{\big )}772}}\\-62\\\hline \quad 152\\\end{matrix}}$
減積		以個位檔為準，減去 $4\times 31=124$ 盤面數字為 24"028，24 為商，28 為減積後的結果	${\begin{matrix}\quad 24\\31{\overline {{\big )}772}}\\-62\\\hline \quad 152\\-124\\\hline \quad 28\\\end{matrix}}$

得到 772÷31=24..28 。

修正商

計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

歸除法

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

九歸訣

一個版本是：「
一歸如一進，見一進成十；
二一添作五，逢二進成十；
三一三十一，三二六十二，逢三進成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；
五歸添一倍，逢五進成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；
九歸隨身下，逢九進成十。
」

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「 一歸如一進、見一進成十；
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；
五歸添一倍、逢五進成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；
九歸隨身下、逢九進成十
」

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。
以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 $1\times 10$ 。 而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指$20\div 3=6..2$。逢三進成十是指$30\div 3=10..0$。
有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，$20\div 7=2..6$。 五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：$30\div 5=6$）

單歸法（除數為一位）

该动图演示了利用珠算计算(98.57+97.62+87.85)÷3，其结果为94.68。

歸除法（除數為多位）

以除數的首數去除，稱為歸，以除數的首數以外的數去除，稱為除。

需搭配退商法、撞歸法

撞归口訣

• 撞一：见一无除作九一;
• 撞二：见二无除作九二;
• 撞三：见三无除作九三;
• 撞四：见四无除作九四;
• 撞五：见五无除作九五;
• 撞六：见六无除作九六;
• 撞七：见七无除作九七;
• 撞八：见八无除作九八;
• 撞九：见九无除作九九;

除法增商口訣(輔助)

二:	二一6去2,	二一7去4,	二一8去6,	二一9去8,
三:	三一4去2,	三一5去5,	三一6去8,	三二7去1,	三二8去4,	三二9去7
四:	四一3去2,	四一4去6,	四二6去4,	四二7去8,	四三8去2,	四三9去6
五:	五一3去5,	五二5去5,	五三7去5,	五四9去5,
六:	六一2去2,	六一3去8,	六二4去4,	六三6去6,	六四7去2,	六四8去8	六五9去4
七:	七一2去4,	七二3去1,	七二4去8,	七三5去5,	七四6去2,	七四7去9,	七五8去6,	七六9去3
八:	八一2去6,	八二3去4,	八三4去2,	八四6去8,	八五7去6,	八六8去4,	八七9去2
九:	九一2去8,	九二3去7,	九三4去6,	九四5去5,	九五6去4,	九六7去3,	九七8去2,	九八9去1

試範除法珠算(三個歸除法口訣和乘法口訣合用表演, 不顯示加法口訣和減法口訣)

3456790092/28

11456790092 逢二進一

---

08           一八08(乘法口訣)

---

10656790092

---

12256790092 逢四進二

---

 16          二八16

---

12096790092

---

12336790092 逢六進三

---

  24         三八24

---

12312790092

---

12352790092 二一改作五

---

12344790092 退商1

---

   32        四八32

---

12341590092

---

12345590092 二一改作五

---

    40       五八40

---

12345190092

---

12345670092 二一6去2(除法增商口訣)

---

     48      六八48

---

12345622092

---

12345694092 見二無除作92(撞歸)

---

12345678092 退商2

---

      56      七八56

---

12345672492

---

12345679692 見二無除作92

---

12345678892 退商1(必須退商1, 否則九八72不夠減)

---

       64     八八64

---

12345678252

---

12345678972 見二無除作92

---

        72    九八72

---

123456789 已是答案

除法珠算必須加減乘除口訣都精通

範例一甲(歸除法口訣)

168/2

---

568 二一改作五

---

808 逢六進三

---

84 逢八進四 已是答案

範例一乙(除法增商口訣)

168/2

---

648 二一6去2

---

808 逢四進二

---

84 逢八進四 已是答案

湊倍除法

或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

開平方

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

驗算

還原驗算法

一、交換律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積

二、逆運算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數

三、尾錯復尾

   只再計算最後幾位數一次

九餘數法

只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

範例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

範例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

範例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         

九除法

十一除法

二除法

珠算競技

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

外部链接

• 珠算全球資訊網 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 世界珠心算网 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

參見

• 算盘
• 籌算
• 心算
• 《算法統宗》