珠算
珠算，义为使用算珠来进行计算的方法，一般特指用中式算盘来计算。其对四则运算统整出了一套系统系的计算规则，统称珠算法则。其源于中国古代，《数术记遗》记载上古十四种算法，珠算为其一。 不过，当时尚无现在的算盘，是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。
2013年，联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。[1]
东亚式算盘算法
运珠法
有两种方式[2]：
- 双手拨珠，以中国为主，另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙特阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
- 单手运珠，以台湾、日本、韩国为主，另有马来西亚、新加坡、泰国、香港、美国、加拿大、巴西、澳洲等。
- 二五珠算盘
 | 此条目包含过多行话或专业术语，可能需要简化或提出进一步解释。 (2017年8月3日) |
一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 中指拨上珠靠梁和离梁。
- 一四珠算盘
（或一五珠算盘）：两个手指的基本分工是：
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 一五珠算盘
两个手指的基本分工是：
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
布数法
布数法是指表现数字的算珠摆放方式。
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| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
加法
原则为同位值相加，逢十进一，计算时由又高位档向低位档依次相加。
（例）1937+284
- 置数：
| ||||
| 1937 | =1937 |
- 逐档相加：
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→ |
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→ |
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| +200 | +80 | +4 | =2221 |
- 口诀
可辅助学习，熟练后亦可不用。
| 加数 | 不进位加 | 进位加 | ||
| 直加 | 满五加 | 进十加 | 破五进十加 | |
| 一 | 一上一 | 一下五去四 | 一去九进一 | |
| 二 | 二上二 | 二下五去三 | 二去八进一 | |
| 三 | 三上三 | 三下五去二 | 三去七进一 | |
| 四 | 四上四 | 四下五去一 | 四去六进一 | |
| 五 | 五上五 | 五去五进一 | ||
| 六 | 六上六 | 六去四进一 | 六上一去五进一 | |
| 七 | 七上七 | 七去三进一 | 七上二去五进一 | |
| 八 | 八上八 | 八去二进一 | 八上三去五进一 | |
| 九 | 九上九 | 九去一进一 | 九上四去五进一 | |
以 +3 为例:
- “三上三”是指“（若下珠够加）直接上拨三颗”(=+3)。
- “三下五去二”是指“（若下珠不够加，且没有上珠），则拨下一颗上珠，去掉两伙下珠”（=+5-2）。
- “三去七进一”是指“（若下珠不够加，且有上珠），则去掉七，再高一位进一”（=+10-7）。
其中，“三下五去二”亦是成语中“三下五除二”的由来。
减法
原则为同位值相减，不够借位，计算时由又高位档向低位档依次相减。
（例）1756-957
- 置数
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| 1756 |
- 逐档相减
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→ |
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→ |
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| -900 | -50 | -7 | =799 |
- 口诀
可辅助学习，熟练后亦可不用。
| 减数 | 不退位减 | 退位减 | ||
| 直减 | 破五减 | 退位减 | 退十补五减 | |
| 一 | 一去一 | 一上四去五 | 一退一还九 | |
| 二 | 二去二 | 二上三去五 | 二退一还八 | |
| 三 | 三去三 | 三上二去五 | 三退一还七 | |
| 四 | 四去四 | 四上一去五 | 四退一还六 | |
| 五 | 五去五 | 五退一还五 | ||
| 六 | 六去六 | 六退一还四 | 六退一还五去一 | |
| 七 | 七去七 | 七退一还三 | 七退一还五去二 | |
| 八 | 八去八 | 八退一还二 | 八退一还五去三 | |
| 九 | 九去九 | 九退一还一 | 九退一还五去四 | |
以 -3 为例:
“三去三”是指“（若下珠够减）直接拨去三颗”(=-3)。 “三上二去五”是指“（若下珠不够减，且有上珠），则拨去上珠，并加上二颗下珠”（=-5＋2）。 “三退一还七”是指“（若下珠不够减，且没有上珠），则更高一位减一，并加上七”（=-10+7）。
- 负数
遇到小数减大数时，可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁，也不靠框。其观念同计算机中的二补数。
乘法
基本原则就是，将乘数分解为每分数，分别乘上被乘数后相加。如：要计算 32×97
更进一步分解，
计算时，不用考虑位值，则只需计算一位×一位，如：30×90 ，只需计算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先将每个一位×一位的结果先计算出来，此即为乘法口误——九九歌。
而使用珠算计算时，因为数字都在盘面上，所以要考虑是否要将实（被乘数）、法（乘数）放置盘面上，放的位置（因计算结果会愈来愈长，可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响）、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法，主要有两大类：
- 看头乘法，被乘数、乘数放置盘面上。
- 看头乘法，又称见乘法，乘法速算法。
- 破头乘法，被乘数、乘数不放置盘面上。
- 破头乘法，又称头乘法
- 破头乘法别法，又称新头乘法，或称隔位乘法。
此外，另有一种技巧 凑倍乘法[3]，古称金蝉脱壳，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。
其基本想法为：“因为将每个乘数分解成多个一位数，最多只有 9 种可能（0 不用计算）”，而这 9 种可能，都可以改为“×1、×2、×5的某种组合”如：被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而“×1、×2、×5”这三种运算是容易心算的。
- 看头乘法
- 破头乘法
- 新头乘法
（例）32×97
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→ |
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→ |
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→ |
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| 32 | 算“2”字 | 2×90 | +2×7 | |||||||||||||||||||||||
| → |
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→ |
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→ |
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| 算“3”字 | +30×90 | +30×7 | =3104 |
- 凑倍乘法
除法
原理跟长除法类似。其计算方式主要分两步骤估商（或试商）和减积。
计算方法有：商除法、归除法、凑倍除法。
商除法
以 1542÷31 为例
| 动作 | 盘面（商） | 盘面（余） | 说明 | 等效长除法 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 置数 |
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在算盘的两处分别放置商和余 |
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| 估商 |
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在商的十位放置 4 |
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| 减积 |
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以被减数上的十位为准，减去 |
| ||||||||
| 估商 |
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在商的个位放 9 |
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| 减积 |
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以被减数上的个位为准，减去 |
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得到 1542÷31=41..23 。
而在一个算盘上，要同时放置商数和余数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商
以 772÷31 为例：
| 动作 | 盘面 | 说明 | 等效长除法 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 置数 |
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在算盘的上放置被减数（商一开始为 0） |
| ||||||
| 估商 |
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因为 77 大于等于 31 够除，所以隔位置商，所以千位档空着，万位档放 2。
盘面数字为 2"0772，2 为商，772 为被除数 |
| ||||||
| 减积 |
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以十位档为准，减去
盘面数字为 2"0152，2 为商，152 为减积后的结果 |
| ||||||
| 估商 |
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因为 15 不够 31 除，所以挨档置商，千位档放 4。
盘面数字为 24"152，24 为商，152 为被除数 |
| ||||||
| 减积 |
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以个位档为准，减去
盘面数字为 24"028，24 为商，28 为减积后的结果 |
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得到 772÷31=24..28 。
- 修正商
计算过程中，若发现所估的商过大，则要退商；若估商太小，则要补商。
归除法
其基本想法是，将一些可能的除算先计算出结果，并将商与除数化作口诀，来加速计算除法。
除数为一位的称为单归法，除数为多位的，则为归除法。
- 九归诀
一个版本是：“
一归如一进，见一进成十；
二一添作五，逢二进成十；
三一三十一，三二六十二，逢三进成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十；
五归添一倍，逢五进成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十；
九归随身下，逢九进成十。
”
目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》：“
一归如一进、见一进成十；
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十；
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十；
五归添一倍、逢五进成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十；
九归随身下、逢九进成十
”
整个歌诀的作用为，“罗列所有被除数及除数的首数的可能，得出商数和余数”。
以三一三十一为例，第一个数字为三，是除数的首数为三，第二个数字为一，是被除数首数为一，数字虽为 1，但计算的是 。
而三十一意指商为 3 ，余为 1。同样的，三二六十二是指。逢三进成十是指。
有些语句是用下加几来表示，是指商数不变（与被除数首数相同），余数则为那个几。以七二下加六为例，。
五归添一倍是指“用 5 去除一个数，相当于此数加倍”（如：）
- 单归法（除数为一位）
- 归除法（除数为多位）
以除数的首数去除，称为归，以除数的首数以外的数去除，称为除。
需搭配退商法、撞归法
- 撞归口诀
- 撞一：见一无除作九一;
- 撞二：见二无除作九二;
- 撞三：见三无除作九三;
- 撞四：见四无除作九四;
- 撞五：见五无除作九五;
- 撞六：见六无除作九六;
- 撞七：见七无除作九七;
- 撞八：见八无除作九八;
- 撞九：见九无除作九九;
- 除法增商口诀(辅助)
| 二: | 二一6去2, | 二一7去4, | 二一8去6, | 二一9去8, | ||||
| 三: | 三一4去2, | 三一5去5, | 三一6去8, | 三二7去1, | 三二8去4, | 三二9去7 | ||
| 四: | 四一3去2, | 四一4去6, | 四二6去4, | 四二7去8, | 四三8去2, | 四三9去6 | ||
| 五: | 五一3去5, | 五二5去5, | 五三7去5, | 五四9去5, | ||||
| 六: | 六一2去2, | 六一3去8, | 六二4去4, | 六三6去6, | 六四7去2, | 六四8去8 | 六五9去4 | |
| 七: | 七一2去4, | 七二3去1, | 七二4去8, | 七三5去5, | 七四6去2, | 七四7去9, | 七五8去6, | 七六9去3 |
| 八: | 八一2去6, | 八二3去4, | 八三4去2, | 八四6去8, | 八五7去6, | 八六8去4, | 八七9去2 | |
| 九: | 九一2去8, | 九二3去7, | 九三4去6, | 九四5去5, | 九五6去4, | 九六7去3, | 九七8去2, | 九八9去1 |
- 试范除法珠算(三个归除法口诀和乘法口诀合用表演, 不显示加法口诀和减法口诀)
3456790092/28
11456790092 逢二进一
08 一八08(乘法口訣)
10656790092
12256790092 逢四进二
16 二八16
12096790092
12336790092 逢六进三
24 三八24
12312790092
12352790092 二一改作五
12344790092 退商1
32 四八32
12341590092
12345590092 二一改作五
40 五八40
12345190092
12345670092 二一6去2(除法增商口诀)
48 六八48
12345622092
12345694092 见二无除作92(撞归)
12345678092 退商2
56 七八56
12345672492
12345679692 见二无除作92
12345678892 退商1(必须退商1, 否则九八72不够减)
64 八八64
12345678252
12345678972 见二无除作92
72 九八72
123456789 已是答案
除法珠算必须加减乘除口诀都精通
- 范例一甲(归除法口诀)
168/2
568 二一改作五
808 逢六进三
84 逢八进四 已是答案
- 范例一乙(除法增商口诀)
168/2
648 二一6去2
808 逢四进二
84 逢八进四 已是答案
凑倍除法
或称累减除法、大扒皮，首见于《九章详注比类算法大全》，是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。
开平方
开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅
验算
- 还原验算法
一、交换律
加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:加數+被加數=和數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:被減數-差數=減數 乘法算式：被乘數*乘數=積 驗算公式：乘數*被乘數=積
二、逆运算
加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:和數-加數=被加數 或 和數-被加數=加數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:差數+減數=被減數 乘法算式：被乘數*乘數=積 驗算公式：積/被乘數=乘數 除法算式：被除數/除數=商(及餘數) 驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數
三、尾错复尾
只再計算最後幾位數一次
- 九余数法
只能验加法,减法,乘法和乘幂
范例一、 123+456=599
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
599=5+9+9=5(mod 9)
因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
范例二、 123*456=68934
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
范例三、 22*68*53=369780
22=4(mod 9)
68=5(mod 9)
53=8(mod 9)
369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
范例四、 23^4=367981
23^4=(-4)^4=4(mod 9)
367981=34=7(mod 9)
因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
- 九除法
- 十一除法
- 二除法
珠算竞技
珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类，心算竞技是运用珠算式心算技巧。
参考文献
- ^ 中国珠算入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”座谈会在京举办
- ^ 廖正辉. 單手運珠與雙手撥珠的差異. 珠算万维网.
- ^ （算盘）珠算10：乘法2——凑倍乘法. 哗哩哗哩.
