萊夫謝茨對偶

在數學上，萊夫謝茨對偶是龐加萊對偶的一種拓展，使得最初的龐加萊對偶可以作用於帶邊流形 。它最初由萊夫謝茨於1926年提出。

定理（萊夫謝茨對偶）

令 $M$ 是 ${\textstyle n}$ 維可定向緊流形，邊界為 $N$ ，令 $z$ 為$M$ 的定向所決定的基本類。與 $z$ 的杯積誘導了 $M$ 的（上）同調群和 $(M,N)$ 的相對（上）同調群的配對；由此便可得到

$$H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)$$

與

$$H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)$$

這裡的 ${\textstyle N}$ 實際上可以是空的，此時，萊夫謝茨對偶退化為龐加萊對偶。

實際上，若 ${\textstyle N}$ 可以分解為具有共同邊界的兩個可定向緊流形 ${\textstyle A}$、${\textstyle B}$，則有下式：

$$D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).$$