简谐运动 ，或稱简谐振动 谐振 SHM （Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动 。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力 （或物体的加速度 ）的大小与位移 的大小成正比 ，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。
如果用F 表示物体受到的回復力，用x 表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律 ，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
[ 1] 式中的k是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
根据牛顿第二定律「
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
加速度 总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系統的機械能守恆 。
Simple harmonic motion shown both in real space and phase space . The orbit is periodic . (Here the velocity and position axes have been reversed from the standard convention to align the two diagrams) 对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
=
m
x
¨
{\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}
回复力又可表示为
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
所以有
x
¨
+
k
m
x
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}
求解上述方程，得到的的解含有正弦函数
x
(
t
)
=
c
1
cos
(
ω
t
)
+
c
2
sin
(
ω
t
)
=
A
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}
ω
=
k
m
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}
A
=
c
1
2
+
c
2
2
,
{\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}
tan
φ
=
(
c
2
c
1
)
,
{\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
A
{\displaystyle A}
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
v
(
t
)
=
d
x
d
t
=
−
A
ω
sin
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}
v
m
a
x
=
ω
A
{\displaystyle v_{max}=\omega A}
a
(
t
)
=
d
2
x
d
t
2
=
−
A
ω
2
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}
a
m
a
x
=
ω
2
A
{\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}
加速度也可以通过位移的函数得到
a
(
x
)
=
−
ω
2
x
{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}
因为
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
f
=
1
2
π
k
m
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
又因为周期
T
=
1
f
{\displaystyle T={\frac {1}{f}}}
T
=
2
π
m
k
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。[ 1] :163
在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力 小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。
弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能 转换为振子的动能 ，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度 为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的固有週期 和固有頻率 與彈簧彈力係數 和振子質量有關，與振幅大小無關。
1.振幅
振幅A代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于
E
{\displaystyle {\sqrt {E}}}
2.角频率
角频率：
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
其中
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
x
=
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })}
对于时间t求导，
v
=
−
A
ω
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })}
再关于时间t求导，
a
=
−
A
ω
2
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })}
由牛顿第二定律得
a
=
F
m
=
−
k
x
m
=
−
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
k
m
{\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}}
两式联立得
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
下图為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移 隨時間變化的規律。是一條正弦 或餘弦 曲綫。
這個運動是假設在沒有能量損失 引致阻尼 的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動 過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期，單位時間內完成全振動的次数叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。
如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
k
{\displaystyle k}
如果一个质点的运动方程有如下形式
x
=
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\cos {(\omega t+\phi )}}
如果一个质点的动力学方程可以写成
a
+
ω
2
x
=
0
{\displaystyle a+\omega ^{2}x=0}
ω
2
{\displaystyle \omega ^{2}}
如果质点在运动过程中具有形式为
(
1
2
k
x
2
)
{\displaystyle ({\frac {1}{2}}kx^{2})}
1
2
m
v
2
+
1
2
k
x
2
=
E
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E}
应该说明：
以上各判定方法是完全等价的；
以上各表达式中的
x
{\displaystyle x}
把质量为M 的物体悬挂在劲度系数为k 的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：
ω
=
2
π
f
=
k
M
.
{\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}
如果要计算它的周期，可以用以下的公式：
T
=
1
f
=
2
π
M
k
{\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}}
总能量是常数，由方程
E
=
k
A
2
2
{\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}
等速率圆周運動 的一维投影 是簡諧運動。如果物體以
ω
{\displaystyle \omega }
角速率 沿着半徑为
R
{\displaystyle R}
x 軸、y 軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅为
R
{\displaystyle R}
ω
{\displaystyle \omega }
在偏角不太大的情况（一般認為小於5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为
ℓ
{\displaystyle \ell }
g
{\displaystyle g}
T
=
2
π
ℓ
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}
这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度 的表达式是与位置的正弦 成正比的：
ℓ
m
g
sin
(
θ
)
=
I
α
{\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }
其中I是转动惯量 ，在这种情况下
I
=
m
ℓ
2
{\displaystyle I=m\ell ^{2}}
θ
{\displaystyle \theta }
sin
(
θ
)
≈
θ
{\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }
ℓ
m
g
θ
=
I
α
{\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }
这使得角加速度与
θ
{\displaystyle \theta }
回復力 是擺球的重力沿運動方向的分力。[ 1] :165
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