簡諧運動 ，或稱簡諧振動 諧振 SHM （Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動 。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力 （或物體的加速度 ）的大小與位移 的大小成正比 ，並且力（或物體的加速度）總是指向平衡位置。
如果用F 表示物體受到的回復力，用x 表示物體對於平衡位置的位移，根據虎克定律 ，F和x成正比，它們之間的關係可用下式來表示：
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
[ 1] 式中的k是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。
根據牛頓第二運動定律「
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
加速度 總跟物體所受淨力的大小成正比，跟淨力的方向相同，且系統的機械能守恆 。
Simple harmonic motion shown both in real space and phase space . The orbit is periodic . (Here the velocity and position axes have been reversed from the standard convention to align the two diagrams) 對於一維的簡諧振動，其動力學方程式是二階微分方程式，可由牛頓第二運動定律得到
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
=
m
x
¨
{\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}
回復力又可表示為
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
所以有
x
¨
+
k
m
x
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}
求解上述方程式，得到的的解含有正弦函數
x
(
t
)
=
c
1
cos
(
ω
t
)
+
c
2
sin
(
ω
t
)
=
A
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}
ω
=
k
m
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}
A
=
c
1
2
+
c
2
2
,
{\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}
tan
φ
=
(
c
2
c
1
)
,
{\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
A
{\displaystyle A}
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
v
(
t
)
=
d
x
d
t
=
−
A
ω
sin
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}
v
m
a
x
=
ω
A
{\displaystyle v_{max}=\omega A}
a
(
t
)
=
d
2
x
d
t
2
=
−
A
ω
2
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}
a
m
a
x
=
ω
2
A
{\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}
加速度也可以通過位移的函數得到
a
(
x
)
=
−
ω
2
x
{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}
因為
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
f
=
1
2
π
k
m
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
又因為週期
T
=
1
f
{\displaystyle T={\frac {1}{f}}}
T
=
2
π
m
k
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
以上方程式說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動週期和振幅以及相位無關。[ 1] :163
在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。
將一個有孔小球體與一個彈簧連在一在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。平杆穿入小球體，使球體可以在水平杆上左右滑動，而球體與水平杆的摩擦力 小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。
彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的位能 轉換為振子的動能 ，位能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作位能，動能降低，位能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為位能，振子速度 為零，停止運動。位能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，位能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有週期 和固有頻率 與彈簧彈力係數 和振子質量有關，與振幅大小無關。
1.振幅
振幅A代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於
E
{\displaystyle {\sqrt {E}}}
2.角頻率
角頻率：
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
其中
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
x
=
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })}
對於時間t求導，
v
=
−
A
ω
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })}
再關於時間t求導，
a
=
−
A
ω
2
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })}
由牛頓第二運動定律得
a
=
F
m
=
−
k
x
m
=
−
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
k
m
{\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}}
兩式聯立得
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
下圖為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移 隨時間變化的規律。是一條正弦 或餘弦 曲綫。
這個運動是假設在沒有能量損失 引致阻尼 的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動 過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的時間叫週期，單位時間內完成全振動的次數叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。
如果一個質點在運動中所受的淨外力是一個簡諧力
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
k
{\displaystyle k}
如果一個質點的運動方程式有如下形式
x
=
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\cos {(\omega t+\phi )}}
如果一個質點的動力學方程式可以寫成
a
+
ω
2
x
=
0
{\displaystyle a+\omega ^{2}x=0}
ω
2
{\displaystyle \omega ^{2}}
如果質點在運動過程中具有形式為
(
1
2
k
x
2
)
{\displaystyle ({\frac {1}{2}}kx^{2})}
1
2
m
v
2
+
1
2
k
x
2
=
E
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E}
應該說明：
以上各判定方法是完全等價的；
以上各表達式中的
x
{\displaystyle x}
把質量為M 的物體懸掛在勁度係數為k 的彈簧的底端，則物體將進行簡諧運動，其方程式為：
ω
=
2
π
f
=
k
M
.
{\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}
如果要計算它的週期，可以用以下的公式：
T
=
1
f
=
2
π
M
k
{\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}}
總能量是常數，由方程式
E
=
k
A
2
2
{\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}
等速率圓周運動 的一維投影 是簡諧運動。如果物體以
ω
{\displaystyle \omega }
角速率 沿著半徑為
R
{\displaystyle R}
x 軸、y 軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅為
R
{\displaystyle R}
ω
{\displaystyle \omega }
在偏角不太大的情況（一般認為小於5°）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。如果單擺的長度為
ℓ
{\displaystyle \ell }
g
{\displaystyle g}
T
=
2
π
ℓ
g
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}
這個公式僅當偏角很小時才成立，因為角加速度 的表達式是與位置的正弦 成正比的：
ℓ
m
g
sin
(
θ
)
=
I
α
{\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }
其中I是轉動慣量 ，在這種情況下
I
=
m
ℓ
2
{\displaystyle I=m\ell ^{2}}
θ
{\displaystyle \theta }
sin
(
θ
)
≈
θ
{\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }
ℓ
m
g
θ
=
I
α
{\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }
這使得角加速度與
θ
{\displaystyle \theta }
回復力 是擺球的重力沿運動方向的分力。[ 1] :165
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