介值定理

在數學分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

假設有一連續函數

f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}

，且假設

f(a)<f(b)

，若對任意數

u

滿足

f(a)<u<f(b)

，則存在一點

c,\;a<c<b

，使得

f(c)=u

，當

f(a)>f(b)

時也有類似敘述。

直觀地比喻，這代表在 $[a,b]$ 區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。或者可以這樣說，函數的圖像必然會穿過區間 $(a,b)$ 中的每一個點。

介值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裏的閉區間，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

證明

先證明第一種情況 $f(a)<u<f(b)$ ；第二種情況也類似。

設 $S$ 為 $[a,b]$ 內所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那麼 $S$ 是非空的，因為 $a$ 是 $S$ 的一個元素，且 $S$ 是上有界的，其上界為 $b$ 。於是，根據實數的完備性，最小上界 $c=\mathrm {sup}$ $S$ 一定存在。我們來證明 $f(c)=u$ 。

假設 $f(c)>u$ 。那麼 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因為 $f$ 是連續函數。但是，這樣一來，當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是說，對於 $(c-\delta ,c+\delta )$ 內的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因為 $c=\mathrm {sup}$ $S$ , 因此存在 $x'\in (c-\delta ,c]$ ，使得 $f(x')\leqslant u$ , 所以我們有： $f(x')>u$ 並且 $f(x')\leqslant u$ , 這顯然是矛盾的。
假設 $f(c)<u$ 。根據連續性，存在一個 $\delta >0$ ，使得當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那麼對於 $(c-\delta ,c+\delta )$ 內的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大於 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，這與 $c$ 的定義矛盾。