拟约翰逊多面体

部分的拟约翰逊多面体
四阶十二面体	部分截半截角八面体
五边形六边形五角十二面七十四面体	截角三角化四面体

在几何学中，拟约翰逊多面体是严格凸多面体，其面几乎都是正多边形，但其中有部分或全部的面不是正多边形但很接近正多边形。这种多面体也包含约翰逊多面体，即所有的面都是正多边形，而拟约翰逊多面体经常会在正多边形与非正多边形之间有物理构造上可以忽略的微小差异^[1]。近似的精确值取决于这样一个多面体的面逼近正多边形的程度。

例子

名称康威多面体表示法	顶点布局（英语：Vertex configuration）	顶点	边	面	F₃	F₄	F₅	F₆	F₁₀	F₁₂	对称性（英语：List of spherical symmetry groups）
底面截角双三角锥 t4dP3	2 (5.5.5) 12 (4.5.5)	14	21	9		3	6				Dih₃ 12阶
截角三角化四面体 t6kT	4 (5.5.5) 24 (5.5.6)	28	42	16			12	4			T_d, [3,3] 24阶
五边形六边形五角十二面七十四面体	12 (3.5.3.6) 24 (3.3.5.6) 24 (3.3.3.3.5)	60	132	74	56		12	6			T_h, [3⁺,4] 24阶
倒角立方体 cC	24 (4.6.6) 8 (6.6.6)	32	48	18		6		12			O_h, [4,3] 48阶
--	12 (5.5.6) 6 (3.5.3.5) 12 (3.3.5.5)	30	54	26	12		12	2			D_6h, [6,2] 24阶
--	6 (5.5.5) 9 (3.5.3.5) 12 (3.3.5.5)	27	51	26	14		12				D_3h, [3,2] 12阶
四阶十二面体	4 (5.5.5) 12 (3.5.3.5) 12 (3.3.5.5)	28	54	28	16		12				T_d, [3,3] 24阶
部分截半截角八面体	24 (3.4.3.9) 24 (3.9.9)	38	84	48	24	6					O_h, [4,3]
倒角十二面体 cD	60 (5.6.6) 20 (6.6.6)	80	120	42			12	30			I_h, [5,3] 120阶
截半截角二十面体 atI	60 (3.5.3.6) 30 (3.6.3.6)	90	180	92	60		12	20			I_h, [5,3] 120阶
截角截角二十面体 ttI	120 (3.10.12) 60 (3.12.12)	180	270	92	60				12	20	I_h, [5,3] 120阶
扩展截角二十面体 etI	60 (3.4.5.4) 120 (3.4.6.4)	180	360	182	60	90	12	20			I_h, [5,3] 120阶
扭棱截角二十面体 stI	60 (3.3.3.3.5) 120 (3.3.3.3.6)	180	450	272	240		12	20			I, [5,3]⁺ 60阶

共面拟约翰逊多面体

有些未能成为约翰逊多面体的候选多面体是因为其存在有两个以上共面的面，其也可以算是全部由正多边形组成的凸多面体，只是其凸为非严格凸。^[2]这些多面体可被看做是凸的面且非常接近正多边形。这些立体通常有无限多种，但若约定所有顶点要位于顶角处，不能位于面（共面的一组面视为同一个面）的内部，则满足条件的立体只有78个，可以视为约翰逊多面体的自然推广^[2]（参见章节条件边正多边形凸多面体）。

例如： 3.3...：

同相双三角柱
（菱形柱）
楔形体
二侧锥八面体
（三方偏方面体）
正三角锥反角柱
均三侧锥八面体
长八面体（英语：Elongated octahedron）
均四侧锥八面体
正六角锥反角柱
（正六角反棱柱）
边收缩二十面体
 十八面体
四侧锥截角四面体
（截角四面体）
八侧锥截角八面体
（截角八面体）
双六角锥柱
（六角柱）
正三角台塔锥
（正三角台塔）

4.4.4.4：

正方形二十四面体
（正方体）

3.4.6.4：

正六角台塔
（退化）

条件边正多边形凸多面体

部分的条件边正多边形凸多面体
侧锥双新月双丸塔	二侧锥八面体
正三角锥反角柱	同相双三角柱

若将约翰逊多面体的条件放宽成允许面两两共面，且所有顶点都要严格位于顶角上，不能有边两两共线的情况（若允许边两两共线，则结果会有无穷多种情况），也不能够有顶点位于共面区域内部的情况，则能够再列出有限个有此特性的立体。条件边（conditional edges）指的是对应棱的二面角为平角的边。^[2]在这条件下，能允许互相共面的面有正三角形与正三角形（3+3）、正三角形与正方形（3+4）、正三角形与正五边形（3+5）、正方形和两个位于对侧的正三角形（3+4+3）、正五边形和两个不相邻的正三角形（3+5+3），也就是说，这些立体除了有正多边形面外，也会存在上述组合之形状的面。^[3]这类立体一共有78个。^[2]和约翰逊多面体一样，这些立体除了一些基本立体外，都能够用柱体、锥体和28种立体互相组合而成。^[3]拥有条件边的基本立体由B·A·伊万诺夫（B. A.Ivanov）^[4]和普里亚欣·尤·A（Prjahin Ju. A.）^[5]分别于1971年和1973年发现，这些无法用其他立体组合而成的基本立体共有6个，阿列克谢·维克多罗维奇·蒂莫芬科（Aleksei Victorovich Timofeenko）将其中5五首先被伊万诺夫发现的立体称为伊万诺夫立体（Ivanov solid），另一个则被称为普里亚欣立体（Pryakhin solid）^[6]。亚历克斯·多斯基（Alex Doskey）^[7]、罗杰·考夫曼（Roger Kaufman）和史蒂夫·沃特曼（Steve Waterman）^[8]在2006年列出了大部分有此性质的立体。2008年，维克多·扎加勒（Victor Zalgaller）^[9]和蒂莫芬科^[6]独立发现并列出这些立体。2010年，蒂莫芬科证明这些立体只有78种。^[6]^[10]

下表列出了所有78个条件边正多边形凸多面体。其中，P_n,k代表n个基本立体之组合的第k个立体^[6]，由最多个基本立体组合成的条件边正多边形凸多面体是三侧锥同相双五角丸塔锥，由6个基本立体组合而成，分别为4个五角锥和2个五角丸塔。

P_n,k^[6]	S_n^[9]	名称	组合	顶点	边	面	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	F₃₊₃	F_etc
Q₁	Q₁	斜六角柱	（基本立体）	12	18	8		2		2			4
Q₂	Q₂	六斜方十二面体（hexarhombic dodecahedron）	（基本立体）	18	28	12		4		4			4
Q₃	Q₃	（未命名）	（基本立体）	15	29	16	9	2	3				2
Q₄	Q₄	（未命名）	（基本立体）	15	27	14	5	2	3				4
Q₅	Q₅	（未命名）	（基本立体）	22	42	22	10	4	2	2			4
Q₆	Q₆	（未命名）	（基本立体）	18	33	17	7	3	3	1			3
P_2,2	S₃	同相双三角柱	三角柱	8	12	6		4					2
P_2,3	S₄	侧三角柱立方体	三角柱+立方体	10	15	7		5						2
P_2,4	S₅	侧三角柱五角柱	三角柱+五角柱	12	18	8		6						2
P_2,22	S₁₄	侧锥四角锥	正四面体+四角锥	6	9	5	2	1					2
P_2,25	S₁₇	侧锥三角台塔	三角台塔+四角锥	10	16	8	2	2		1			3
P_2,29	S₂₂	侧锥双新月双丸塔	双新月双丸塔+五角锥	15	29	16	9	2	3				2
P_2,30	S₄₆	侧锥五角丸塔	五角丸塔+五角锥	21	36	17	7		5			1	4
P_2,31	S₂₄	五角丸塔锥	五角丸塔+五角锥	21	35	16	5		5			1	5
P_2,33	S₂	侧锥三角广底球状丸塔	三角广底球状丸塔+五角锥	19	38	21	12	3	2	1			3
P_2,34	S₁	异侧邻二侧锥双新月双丸塔	双新月双丸塔+五角锥	16	32	18	10	2	2				4
P_2,38	S₅₉	单旋侧台塔截角四面体	截角四面体+三角台塔	15	24	11	2	3		3			3
P_2,42	S₆₀	单旋侧台塔截角立方体	截角立方体+四角台塔	28	44	18	4	5			5		4
P_2,48	S₆₃	单旋侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	65	100	37	15	5	1			11	5
P_3,1	S₆	侧锥同相双三角柱	三角柱+四角锥	9	16	9	4	3					2
P_3,2	S₁₀	柱化异相双三角柱	三角柱+立方体	12	18	8		4						4
P_3,3	S₁₁	柱化同相双三角柱	三角柱+立方体	12	18	8		6						2
P_3,4	S₉	对侧锥侧三角柱立方体	三角柱+立方体+四角锥	11	19	10	4	4						2
P_3,5	S₁₂	间二侧三角柱五角柱	三角柱+五角柱	14	21	9		7						2
P_3,6	S₁₃	间侧锥侧三角柱五角柱	三角柱+五角柱+四角锥	13	22	11	4	5						2
P_3,22	S₄₀	五角丸塔锥柱	五角丸塔+十角柱+五角锥	31	55	26	5	10	5			1	5
P_3,31	S₄₁	五角丸塔锥反棱柱	五角丸塔+五角反棱柱+五角锥	31	65	36	25		5			1	5
P_3,33	S₁₅	侧锥八面体	正八面体+正四面体	7	12	7	4						3
P_3,34	S₁₈	侧锥同相双三角台塔	三角台塔+四角锥	13	25	14	6	5					3
P_3,35	S₂₀	侧锥截半立方体	截半立方体+四角锥	13	24	13	4	5					4
P_3,36	S₂₃	对二侧锥双新月双丸塔	双新月双丸塔+五角锥	16	32	18	10	2	2				4
P_3,37	S₄₇	间二侧锥五角丸塔	五角丸塔+五角锥	22	37	17	4		4			1	8
P_3,38	S₄₈	丸塔侧锥异相五角台塔丸塔	五角丸塔+五角台塔+五角锥	26	51	27	12	5	6				4
P_3,39	S₄₉	丸塔侧锥同相五角台塔丸塔	五角丸塔+五角台塔+五角锥	26	51	27	12	5	6				4
P_3,40	S₂₇	侧锥截半二十面体	截半二十面体+五角锥	31	60	31	15		11				5
P_3,41	S₅₂	侧锥同相双五角丸塔	同相双五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）+五角锥	31	61	32	17		11				4
P_3,42	S₂₅	异相五角台塔丸塔锥	五角台塔+五角丸塔+五角锥	26	50	26	10	5	6				5
P_3,43	S₂₆	同相五角台塔丸塔锥	五角台塔+五角丸塔+五角锥	26	50	26	10	5	6				5
P_3,44	S₂₈	同相双五角丸塔锥	五角丸塔+五角锥	31	60	31	15		11				5
P_3,48	S₆₁	单旋二侧台塔截角立方体	截角立方体+四角台塔	32	56	26	8	10			4		4
P_3,49	S₆₂	双旋二侧台塔截角立方体	截角立方体+四角台塔	32	52	22		10			4		8
P_3,51	S₆₆	单旋间二侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	70	115	47	20	10	2			10	5
P_3,53	S₆₄	单旋对二侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	70	115	47	20	10	2			10	5
P_3,54	S₆₇	双旋间二侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	70	110	42	10	10	2			10	10
P_3,55	S₆₅	双旋对二侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	70	110	42	10	10	2			10	10
P_4,1	S₇	邻二侧锥同相双三角柱	三角柱+四角锥	10	20	12	8	2					2
P_4,2	S₈	对二侧锥同相双三角柱	三角柱+四角锥	10	20	12	8	2					2
P_4,5	S₃₁	同相五角台塔丸塔柱锥	五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角锥	36	70	36	10	15	6				5
P_4,6	S₃₂	异相五角台塔丸塔柱锥	五角台塔+五角丸塔+十角柱+五角锥	36	70	36	10	15	6				5
P_4,7	S₃₃	同相双五角丸塔柱锥	五角丸塔+十角柱+五角锥	41	80	41	15	10	11				5
P_4,8	S₃₄	异相双五角丸塔柱锥	五角丸塔+十角柱+五角锥	41	80	41	15	10	11				5
P_4,9	S₃₇	五角台塔丸塔反棱柱锥	五角台塔+五角丸塔+十角反棱柱+五角锥	36	80	46	30	5	6				5
P_4,10	S₃₈	双五角丸塔反棱柱锥	五角丸塔+十角反棱柱+五角锥	41	90	51	35		11				5
P_4,11	S₁₆	二侧锥八面体	正四面体+正八面体	8	12	6							6
P_4,12	S₁₉	间二侧锥同相双三角台塔	三角台塔+四角锥	14	26	14	4	4					6
P_4,13	S₂₁	对二侧锥截半立方体	截半立方体+四角锥	14	24	12		4					8
P_4,14	S₅₀	间二侧锥异相五角台塔丸塔	五角台塔+五角丸塔+五角锥	27	52	27	9	5	5				8
P_4,15	S₅₁	间二侧锥同相五角台塔丸塔	五角台塔+五角丸塔+五角锥	27	52	27	9	5	5				8
P_4,16	S₄₄	间二侧锥截半二十面体	截半二十面体+五角锥	32	60	30	10		10				10
P_4,17	S₅₃	同侧间二侧锥同相双五角丸塔	五角丸塔+五角锥	32	62	32	14		10				8
P_4,18	S₂₉	对二侧锥截半二十面体	截半二十面体+五角锥	32	60	30	10		10				10
P_4,19	S₅₇	异侧邻二侧锥同相双五角丸塔	五角丸塔+五角锥	32	62	32	14		10				8
P_4,20	S₅₈	异侧对二侧锥同相双五角丸塔	五角丸塔+五角锥	32	62	32	14		10				8
P_4,21	S₄₂	异侧侧锥同相双五角丸塔锥	五角丸塔+五角锥	32	61	31	12		10				9
P_4,22	S₃₀	同相双五角丸塔双锥	五角丸塔+五角锥	32	60	30	10		10				10
P_4,25	S₆₈	单旋三侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	75	130	57	25	15	3			9	5
P_4,26	S₆₉	双旋三侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	75	125	52	15	15	3			9	10
P_4,27	S₇₀	三旋三侧台塔截角十二面体	截角十二面体+五角台塔	75	120	47	5	15	3			9	15
P_4,30		斜四角柱	正四面体+四角锥	8	12	6		2					4
P_4,31		双重侧锥四角锥（doubled augmented square pyramid）双斜三角柱（doubled oblique triangular prism）扭斜四角柱（twist slant square prism）	正四面体+四角锥	8	14	8	4	2					2
P_5,1	S₃₅	同相双五角丸塔柱双锥	五角丸塔+十角柱+五角锥	42	80	40	10	10	10				10
P_5,2	S₃₆	异相双五角丸塔柱双锥	五角丸塔+十角柱+五角锥	42	80	40	10	10	10				10
P_5,3	S₃₉	双五角丸塔反棱柱双锥	五角丸塔+十角反棱柱+五角锥	42	90	50	30		10				10
P_5,4	S₄₅	三侧锥截半二十面体	截半二十面体+五角锥	33	60	29	5		9				15
P_5,5	S₅₅	异侧连三侧锥同相双五角丸塔	五角丸塔+五角锥	33	63	32	11		9				12
P_5,6	S₅₆	异侧偏三侧锥同相双五角丸塔	五角丸塔+五角锥	33	63	32	11		9				12
P_5,7	S₄₃	异侧间二侧锥同相双五角丸塔锥	五角丸塔+五角锥	33	62	31	9		9				13
P_6,1	S₅₄	三侧锥同相双五角丸塔锥	五角丸塔+五角锥	34	64	32	8		8				16

参见

参考文献

^ Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2014-05-01], （原始内容存档 (PDF)于2015-09-23） .
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Near Misses （页面存档备份，存于互联网档案馆）
24 Johnson Solid Near Misses （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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[7] Alex Doskey. Convex Diamond-Regular Polyhedra.

[8] Steve Waterman. Convex hulls having regular diamonds.

[article_gurin2009history-9] 9.0 ^9.1 Gurin, AM and Zalgaller, VA. On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones. Translations of the American Mathematical Society-Series 2. 2009, 228: 169.

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查论编拟约翰逊多面体
种类	面近似正多边形条件边正多边形凸多面体共面拟约翰逊多面体
截角形式	截角三角化四面体倒角立方体 (截角菱形十二面体) 倒角十二面体 (截角菱形三十面体)
不完全变换形式	部分截半截角八面体部分截角截四阶角五角二十四面体
其他形式	四阶十二面体截半截角二十面体五边形六边形五角十二面七十四面体