环 (代数)

环（Ring）是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算（记作 $+$ 和 $\cdot$ ，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义

$R$ 為集合， $+:R\times R\to R$ 和 $\circ :R\times R\to R$ 為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 $+(a,\,b)$ 和 $\circ (a,\,b)$ 分別簡記為 $a+b$ 和 $a\circ b$ 。

$(R\,,+\,,\,\circ \,)$ 被稱為環，若它滿足：

$(R\,,+)$ $(R\,,+)$ 為交換群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a+b)+c=a+(b+c)$
- 單位元：存在 $i\in R$ ，對所有的 $r\in R$ 有 $i+r=r+i=r$ （可由上面的性質證明這樣的 $i$ 是唯一的，這樣的 $i$ 稱為加法單位元）
- 反元素：對所有的 $r\in R$ 存在 $r^{\prime }\in R$ 使 $r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0$ （可以由上面的性質證明這樣的 $r^{\prime }$ 是唯一的，通常簡記為 $r^{-1}$ 並稱為 $r$ 的加法反元素)
- 交換律：對所有的 $a,\,b\in R$ 有 $(a+b)=(b+a)$
$(R\,,\,\circ )$ $(R\,,\,\circ )$ 為幺半群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
- 单位元：存在一个单位元 $e\in R$ 使得对于任意的 $a\in R$ 有 $a\circ e=e\circ a=a$ （部分定義並不要求此條）
乘法對于加法满足分配律，即對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ $a,\,b,\,c\in R$ 有：
- $a\circ (b+c)=(a\circ b)+(a\circ c)$
- $(a+b)\circ c=(a\circ c)+(b\circ c)$

其中 $+$ 常會被暱稱為加法；類似的 $\circ$ 會被暱稱為乘法，因為取 $R=\mathbb {R}$ （實數系）， $+$ 為普通的實數加法且 $\circ$ 為普通的實數乘法的話， $(R\,,+\,,\,\circ \,)$ 顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 $0$ ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 $i$ 簡寫為 $0$ 。

所以慣例上仿造實數乘法把 $a\circ b$ 簡寫為 $ab$ ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 $a+bc$ 是 $a+(b\circ c)$ 的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 $a+b^{-1}$ 簡寫為 $a-b$ 。

值得注意的是，在1960年代以前，多數抽象代數的書籍並不將乘法單位元列入環的必要條件中；而1960年代後的書籍則更傾向將乘法單位元列入環的必要條件中。那些不要求乘法單位元為環的必要條件的作者，可能會把包含乘法單位元的環給稱為「單位環」；與之相對地，那些要求乘法單位元為環的必要條件的作者，可能會把不包含乘法單位元的環給稱為「偽環」。

基本性质

$(R\,,+\,,\,\circ \,)$ 為環，則對所有 $a,\,b\in R$ 有：

I. $a0=0a=0$

證明：

$0=0+0$ （單位元）
$a0=a(0+0)$ （式1等號兩邊於左側同乘 $a$ ）
$a(0+0)=a0+a0$ （分配律）
$a0+a0=a0$ （式2 + 式3）
$a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}$ （式4等號兩邊於右側加 ${(a0)}^{-1}$ ）
$a0=0$ （以反元素化簡式5）

可調換 $a$ 和 $0$ 的順序，仿上證明 $0a=0$ 。 $\Box$

II. $a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}$

證明：

$a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b$ （加法交換律、分配律、加法逆元素）
$0b=0=a^{-1}b+ab$ （上面的性質I ）

故 $a^{-1}b$ 的確是 $ab$ 的加法反元素，仿上可證明 $ab^{-1}$ 也是 $ab$ 的加法反元素。 $\Box$

环的相关概念

特殊的环

幺环: 若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环: 若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环: 若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

此定义等价于以下任何一条：
- R\{0}对乘法形成半群；
- R\{0}对乘法封闭；
- R中非0元素的乘积非0；

整环: 无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环: 若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环: 若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a^-1∈R\{0}，使得a^-1·a=a·a^-1=1。则R称为除环。

除环不一定是交换环。反例：四元数环。
交换的除环是體。

主理想环: 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环: 若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

例子

集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
- R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
- R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
- R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

考虑环(R, +, ·)，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。
∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I满足条件1，2则称I是R的右理想；若I满足条件1，3则称I是R的左理想；若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例

整数环的理想：整数环Z只有形如{nZ}的理想。

基本性质

在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
对于环R的两个理想A，B，记 $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ 。则由定义易知：
1. 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
2. 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
3. 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

有关环的其它概念

零因子（zero divisor）：

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；