博雷尔-卡拉西奥多里定理

在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述

设函数$f$在以原点为圆心以$R$为半径的闭圆盘上解析。假设$r<R$，则有以下不等式：

$\|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|$

其中左边的范数是$f$在闭圆盘上的最大值：

$\|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}{|f(z)|}=\max _{|z|=r}{|f(z)|}$

证明

定义$A=\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}$。

首先设$f(0)=0$。由于$\operatorname {Re} {f}$是调和的，可以取$A>0$。$f$映到直线$x=A$左边的半平面$P$。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

$w\mapsto w/A-1$把$P$变成标准左半平面。$w\mapsto R(w+1)/(w-1)$把左半平面变成圆心在原点且半径为$R$的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射：

$w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}$

对上面这个映射与$f$的复合使用施瓦茨引理，得到

${\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|$

取$|z|<r$，上式变为

$R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar$

所以

$|f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}$

对于一般的情况，考虑$f(z)-f(0)$

${\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {(f(w)-f(0))}}\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {f(w)}+|f(0)|}\right)\\\end{aligned}}$

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.