施泰纳-莱穆斯定理

$|AE|=|BD|,\,\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta$ $\Rightarrow \triangle ABC$是等腰三角形

施泰纳-莱穆斯定理是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯和瑞士数学家雅各布·施泰纳命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。

历史

在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯写信给瑞士数学家雅各布·施泰纳，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了这一问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《新数学年鉴》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。该定理后来被称为“施泰纳-莱穆斯定理”。

代数证明

利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。

$t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}$

化简后得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： $a-b=0$

外角平分线问题

两条外角平分线相等的不等腰三角形。易证 $AD=AB=BE$

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。

更一般地，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形：

${\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}$

较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。

外部連結

• The Lasting Legacy of Ludoph Lehmus, Diane and Roy Dowling
• Stelling van Steiner-Lehmus （页面存档备份，存于互联网档案馆）：不同的證法（有圖，荷蘭語）
• 不同的證法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（純文字，英語）