庞加莱复现定理

“庞加莱回归”、“庞加莱复现”和“庞加莱回复”均重定向至此。关于以同一个数学家命名的回归映射，请见“庞加莱映射”。

物理学上，庞加莱复现定理（英语：Poincaré recurrence theorem，又译为庞加莱回复定理或庞加莱回归定理）断言，对于某类系统而言，只要经过充分长但有限的时间，一定会到达某个与初始态任意接近的状态（若该系统具连续的状态），或者一定返回初始态本身（若该系统离散）。

庞加莱复现时间是复现前经过的时长。对于不同的初始态和不同的要求接近的程度，此时间亦不同。定理仅适用于满足某些条件的孤立力学系统，例如该系统所有粒子都必须约束在某个有限体积的范围内。定理可以放在遍历理论、动态系统，或者统计力学的背景中讨论。适用此定理的系统称为守恒系统（与耗散系统相对）。

定理得名自亨利·庞加莱，其于1890年讨论过此定理。1919年，康斯坦丁·卡拉西奥多里利用测度论证明了此定理。

严谨叙述

对于任何一个由常微分方程式定义的动态系统，都有相应的流映射 f ^t，而对每个固定的 t（可当成时间）, f ^t 皆是由该系统的相空间射去相空间本身的映射。若相空间中，每个可以计算体积（称为相体积）的子集，都在流中保持体积，则称该系统保体积。例如，根据刘维尔定理，所有哈密顿系统皆保体积。

有了上述的背景之后，可以将定理叙述如下：若流保体积，且其所有轨道皆有界，则对于相空间中每个开集，都有轨道与之相交无穷多次。

证明讨论

定性理解，证明的关键在于两个前提：

1. 可达（accessible）的相空间总体积具有有限的上界。对于力学系统，可要求其受限于某个有界的“实际”空间（于是，该系统不得将粒子射出至极远处而从不返回）。如此，再加上能量守恒，就足以证明系统受限于相空间的某个有限区域。
2. 动态变化当中，有限元的相体积守恒。（对于力学系统，此条件由刘维尔定理保证。）

取相空间中任意一块体积有限的起始区域，其按照系统的动态而移动，“扫过”相空间的一部分点。由于该区域的体积在过程中保持不变，其扫过的总体积（称为相管，phase tube）理应随时间线性增加（至少在起始不久后如此）。然而，由于可达的相空间总体积有限，相管的体积会达到某个饱和值，而不能一直增加，否则终会大于可达的总相体积。这正说明，相管必与自身相交。倘若要与自身相交，则必须先经过起始的区域。所以，起始体积中至少有体积非零的一部分复现（recur）。

此时，考虑起始区域中永不返回的部分。按上段的论证，若该部分的体积非零，则其必有体积非零的部分复现，但若永不返回的部分中，有一部分复现，则后者亦必返回到原始区域内，造成矛盾。所以，起始区域中永不返回的部分体积只能为零，即与起始区域相比是极小。

注意定理（并其证明）并不保证复现的若干性质：

• 仍然可能有若干个特别的始态永不返回起始区域，或是仅返回有限多次后便不再返回。然而，此种情况极为罕见，与起始区域相比仅是无穷小的部分。
• 起始区域的各部分不必同一时间复现。相管首次通过自身时，可能有一部分体积会错过起始区域，从而该部分会较迟复现。
• 相管确实可能先穷竭可达相空间的全部体积，然后才返回到起始区域。一个简单例子是谐振子。能够历遍整个可达相空间的体积的系统称为满足遍历假设（但此取决于“可达体积”的定义）。
• 可保证的是，从几乎所有始态出发，系统都终将返回到某个与始态任意接近的态。复现时间取决于所要求的“近”的程度，即初始区域的相体积。若要得出更精确的复现，则须取较小的初始区域，所以所需的复现时间更长。
• 给定某个区域和其中某个相，其复现的时刻不必具周期性。第二次复现的时间不必是首次复现时间的两倍。

形式叙述

设

$(X,\Sigma ,\mu )$

为总测度有限的测度空间，并设

$f\colon X\to X$

为保测函数，即其可测，且对任意的可测子集 $A\in \Sigma$ 有 $\mu (T^{-1}A)=\mu (A).$ 以下为定理的两种叙述：

定理一

对任意可测子集 $E\in \Sigma ,$ $E$ 中满足：存在正整数 $N$ ，使得对任意 $n>N$ 都有 $f^{n}(x)\notin E$ 的点 $x$ 的集合的测度为零。

换言之，$E$ 中几乎所有点皆会返回到 $E,$ 且会返回无穷多次，即

$\mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.$

证明见于所引参考资料。

定理二

以下为定理的拓扑版本：

若 $X$ 为第二可数的豪斯多夫空间，而 $\Sigma$ 包含其博雷尔σ-代数，则 $f$ 的复现点集的测度等于 $X$ 的全测度，即几乎所有点皆复现。

证明同样见于所引参考资料。

更一般地，定理适用于守恒系统，而不仅是保测动态系统。

量子力学版本

对于非时变的量子力学系统，若其能量特征态离散，则有类似的定理成立。对于任意的 $\varepsilon >0$ 和 $T_{0}>0,$ 皆存在时间 T 大于 $T_{0},$ 使得 $||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,$ 其中 $|\psi (t)\rangle$ 表示系统于时间 t 的态向量。

证明的关键如下。系统的状态按下式随时间变化：

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,$

其中 $E_{n}$ 为能量特征值（此处使用自然单位，故约化普朗克常数 $\hbar =1$），而 $|\phi _{n}\rangle$ 为相应的能量特征态。时间 $T$ 和时间 $0$ 的态向量的距离平方为

$\left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)].$

可于某项 n = N 截尾，而 N 不取决于 T, 因为

$\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},$

而又有 $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1$ 收敛（此为始态的范数平方），故上式中 $N$ 取很大时，能使上式的值任意小。

而有限和

$\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]$

按以下的构造，也能藉着拣选特定的时刻 T, 而使之任意小。取任意的 $\delta >0,$ 然后取 T, 使得对于 $0\leq n\leq N,$ 都总存在整数 $k_{n}$ 满足

$|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .$

对此 T, 有

$1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.$

于是，

$2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},$

亦即态向量 $|\psi (T)\rangle$ 会回到与始态 $|\psi (0)\rangle$ 任意接近之处。

相关条目

• 遍历假设
• 复现图
• 复现周期密度熵
• 游荡集
• 波兹曼大脑

延伸阅读

• Page, Don N. Information loss in black holes and/or conscious beings?. November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193 . 

外部链接

• Padilla, Tony. The Longest Time. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-08]. （原始内容存档于2013-11-27）. 
• Arnold's Cat Map: An interactive graphical illustration of the recurrence theorem of Poincaré. [2020-10-05]. （原始内容存档于2020-12-23）. 

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