余因子矩阵

在线性代数中，余因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构，余因子矩阵的项是带适当符号的子行列式。

定义

对一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，在 $(i,j)$ 的子行列式（余子式） $M_{ij}$ 定义为删掉 $A$ 的第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列式。令 $C_{ij}:=(-1)^{i+j}M_{ij}$，称为 $A$ 在 $(i,j)$ 的余因子（代数余子式）。矩阵 $\mathrm {cof} (A):=(C_{ij})_{i,j}$ 称作 $A$ 的余因子矩阵（余子矩阵）。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵，记为 $\mathrm {adj} (A)$。

范例

考虑三阶方阵

$B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$

今将计算余因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩阵（在 $B$ 中去掉第 2 横行与第 3 纵列）之行列式：

$M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}$

根据定义得到

$\ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})$

$\ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.$

余因子分解

对一 $n\times n$ 矩阵：

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

其行列式 $\det A$ 可以用余因子表示：

$\ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}$

（对第 j 纵行的余因子分解）

$\ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}$

（对第 i 横列的余因子分解）

古典伴随矩阵

“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是余因子矩阵的“转置矩阵”，它与逆矩阵的计算有极大的关系。

$A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}$

将余因子矩阵

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

转置之后，会得到“古典伴随矩阵”：

$\mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

克莱姆法则

克莱姆法则可以用余因子写成下述简炼的形式：

$\mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}$

当 $\det A\neq 0$ 时，$A$ 的逆矩阵由下式给出：

$A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}$

此即线性方程组理论中的克莱姆法则。

文献

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部链接

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath