不连续点

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处x_o处有中断现象，那么，x_o就称为函数的间断点。

分类

根据不同间断点的性质，通常把间断点分为两类：

1. 第一类间断点：
   1. 跳跃间断点： 间断点两侧函数的极限存在，但不相等；
   2. 可去间断点： 间断点两侧函数的极限存在且相等。
2. 第二类间断点：

不属于第一类间断点的任何一种间断点都属于第二类间断点。

例子

可去间断点

1. 考虑以下函数：

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

点$x_{0}=1$是可去间断点。

跳跃间断点

2. 考虑以下函数：

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

点$x_{0}=1$是跳跃间断点。

第二类间断点

3. 考虑以下函数：

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

点$x_{0}=1$是第二类间断点，又称本性间断点。