随机测度

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和考克斯过程。

定义

随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。

作为转移核

对于可测空间 $(S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})$ ，称 $\zeta$ 是一个 $(S,{\mathcal {S}})$ 到 $(T,{\mathcal {T}})$ 的转移核，是指它是一个二元函数 $\zeta :S\times {\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}$ （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如有符号测度），且满足以下性质：

• 若在第二变元处填充任一固定的可测集 $B\in {\mathcal {\mathcal {S}}}$ ，所得到的映射 $s\mapsto \zeta (s,B)$ 是 $(S,{\mathcal {S}})$ 上的可测函数。

• 若在第一变元处填充任一固定的元素 $s\in S$ ，所得到的映射 $B\mapsto \zeta (s,B)$ 是 $(T,{\mathcal {T}})$ 上的一个测度。

对于 $(S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})$ 为博雷尔空间的情况，局部有限转移核可视作随机元素。

随机测度则定义为一个概率空间 $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ 到一个可测空间 $(E,{\mathcal {E}})$ 的（几乎必然）局部有限转移核。

在随机过程的背景下，马尔可夫核（也称随机核、概率核）的概念与此相关。

作为随机元素

在前文中，“在第一变元处填充一固定的元素”的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个 $(S,{\mathcal {S}})$ 到 ${\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}$ 的可测函数，其中 ${\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}$ 是 $(T,{\mathcal {T}})$ 上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合 ${\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}$ 若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合 ${\tilde {B}}$ ，可定义求值映射（也称投影映射）

$\pi _{\tilde {B}}:{\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} :\mu \mapsto \mu ({\tilde {B}}).$

可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数，称为 $\{\pi _{\tilde {B}}\}$ 生成的（或诱导的）σ-代数。

随机测度即是一个概率空间 $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。

基本相关概念

强度测度

对于给定随机测度 $\zeta$ 和任一正可测函数 $f$ ，满足

$\operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)$

的测度 $\operatorname {E} \zeta$ 被称为 $\zeta$ 的强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是s-有限测度。

支撑测度

对于给定的随机测度 $\zeta$ 和任一正可测函数 $f$ ，满足

$\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0$

的测度 $\nu$ 被称为 $\zeta$ 的支撑测度。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。

拉普拉斯变换

给定随机测度 $\zeta$ ，可定义任一正可测函数 $f$ 的拉普拉斯变换如下

${\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right].$

基本性质

积分的可测性

给定随机测度 $\zeta$ ，正的 ${\mathcal {E}}$-可测函数 $f$ 的积分

$\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

和$\zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

是可测的，所以它们是随机变量。

唯一性

随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定

$\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x),$

其中 $f$ 是 $E$ 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 ${\mathcal {E}}$ （即 $\sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}$ ）的半环 ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}$ ，随机测度的分布也由所有正简单 ${\mathcal {I}}$-可测函数 $f$ 唯一确定。

分解

一个测度通常可以分解为：

$\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},$

这里 $\mu _{d}$ 是弥散测度，而 $\mu _{a}$ 是一种纯原子测量。

随机计数测度

具有下列形式的随机测度称为点过程或随机计数测度：

$\mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},$

其中 $\delta$ 是狄拉克测度、 $X_{n}$ 是随机变量。该随机测度描述了$N$ 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量 $X_{n}$ 给出。计数测度没有弥散分量 $\mu _{d}$ 。

在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间 $(N_{X},{\mathfrak {B}}(N_{X}))$ 的映射。这里 $N_{X}$ 是全体有界有限整数值测度（称为计数测度）$N\in M_{X}$ 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡罗数值求积法和粒子滤波器。

参见

• 泊松过程
• 向量测度

参考资料

• Grandell, Jan. Point processes and random measures. Advances in Applied Probability. 1977-09, 9 (3): 502–526. doi:10.2307/1426111.