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泊松括号

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在数学及传统力学中,泊松括号哈密顿力学重要的运算,是哈密顿表述的动力系统中时间推移的定义。因泊松(Siméon-Denis Poisson)而命名。

定义

泊松括号双线性映射把两个在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函数映射到一个函数。具体来讲,如果我们有两个函数fg, 则

这里的 ω 是辛形式(symplectic form), 双矢量,使得若把 ω 看成为从矢量微分形式的映射, 则是从微分形式矢量的线性映射,对所有微分形式 α满足,这里d表示外导数. 双矢量 有时称为辛流形上的泊松结构

正则坐标

相空间里,用正则坐标 ,两个函数泊松括号记作:

.

李代数

泊松括号符合反交换律。满足雅戈比恒等式.这使得辛流形上的光滑函数空间成为无限维的李代数,以泊松括号为李括号。相应的李群是辛流形的辛同胚群(称为正则变换)。

给定一个可微分的切丛上的矢量场 X, 令为其共轭动量(conjugate momentum). 这个从场到共轭动量的映射为李代数 从泊松括号到李括号的反同态(anti-homomorphism):

这个重要结构值得我们给个简短证明. 记组态空间q点的矢量场X

其中 是局部坐标系. X的共轭动量的表达式为

这里为和坐标共轭的动量函数. 这样就有,对相空间的每点,

以上对所有成立,证毕.

时间演变

辛流形上的函数f的随时间的演变可以辛同胚的单参数族的形式给出,时间t就是那个参数.对时间的全微分如下

这里的H是一个用作该系统的哈密顿量的函数。

泊松代数

参考