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帕松括號

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在數學及傳統力學中,帕松括號哈密頓力學重要的運算,是哈密頓表述的動力系統中時間推移的定義。因帕松(Siméon-Denis Poisson)而命名。

定義

帕松括號雙線性映射把兩個在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函數映射到一個函數。具體來講,如果我們有兩個函數fg, 則

這裡的 ω 是辛形式(symplectic form), 雙向量,使得若把 ω 看成為從向量微分形式的映射, 則是從微分形式向量的線性映射,對所有微分形式 α滿足,這裡d表示外導數. 雙向量 有時稱為辛流形上的帕松結構

正則坐標

相空間里,用正則坐標 ,兩個函數帕松括號記作:

.

李代數

帕松括號符合反交換律。滿足雅戈比恆等式.這使得辛流形上的光滑函數空間成為無限維的李代數,以帕松括號為李括號。相應的李群是辛流形的辛同胚群(稱為正則變換)。

給定一個可微分的切叢上的向量場 X, 令為其共軛動量(conjugate momentum). 這個從場到共軛動量的映射為李代數 從帕松括號到李括號的反同態(anti-homomorphism):

這個重要結構值得我們給個簡短證明. 記組態空間q點的向量場X

其中 是局部坐標系. X的共軛動量的表達式為

這裡為和坐標共軛的動量函數. 這樣就有,對相空間的每點,

以上對所有成立,證畢.

時間演變

辛流形上的函數f的隨時間的演變可以辛同胚的單參數族的形式給出,時間t就是那個參數.對時間的全微分如下

這裡的H是一個用作該系統的哈密頓量的函數。

帕松代數

參考