满射
外观
满射,或者满射函数,在数学上为一个具有这样一个性质的函数,即当输入域涵盖了所有定义域上的值时,函数的所有可能的输出值都已经被产生。
更加形式化地,一个函数为满射,当,对于任意的陪域中的,在函数的定义域中存在至少一个满足。换句话说,是满射当它的值域与陪域相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素都有一个原像。
例子和反例
函数定义为不是一个满射,因为,例如不存在一个实数满足。
但是,如果函数,的定义式同前,这里的陪域限制到只有非负实数,则函数为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数,我们能对求解,得到。
雙射(單射與滿射) | 單射但非滿射 |
滿射但非单射 | 非滿射非單射 |
性质
- 函数为一个满射,当且仅当存在一个函数满足等于上的单位函数。(这个陈述等同于选择公理。)
- 根据定义, 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
- 如果 是满射,则是满射。
- 如果和皆为满射,则为满射。
- 为满射,当且仅当给定任意函数满足,则。
- 如果为满射,且是的子集,则,。因此,能被其原像复原。
- 任意函数能被一个适当的满射和单射分解为。
- 如果为满射函数,则在基数意义上至少有跟一样多的元素。
- 如果和皆为具有相同元素数的有限集合,则是满射当且仅当是单射。