满射

满射，或者满射函数，在数学上为一个具有这样一个性质的函数，即当输入域涵盖了所有定义域上的值时，函数的所有可能的输出值都已经被产生。

更加形式化地，一个函数$f:X\rightarrow Y$为满射，当，对于任意的陪域$Y$中的$y$，在函数的定义域$X$中存在至少一个$x$满足$f(x)=y$。换句话说，$f$是满射当它的值域$f(X)$与陪域$Y$相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素都有一个原像。

例子和反例

函数$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$定义为$g(x)=x^{2}$不是一个满射，因为，例如不存在一个实数满足$x^{2}=-1$。

但是，如果函数$g:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty ]$，$g$的定义式同前，这里的陪域限制到只有非负实数，则函数$h$为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数$y$，我们能对$y=x^{2}$求解，得到$x=\pm {\sqrt {y}}$。

File:BijMap.png 双射（单射与满射）	File:Mathmap.png 单射但非满射
File:OntoMap.png 满射但非单射	File:Mathmap2.png 非满射非单射

性质

• 函数$f:X\rightarrow Y$为一个满射，当且仅当存在一个函数$g:Y\rightarrow X$满足$f\circ g$等于$Y$上的单位函数。（这个陈述等同于选择公理。）
• 根据定义， 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
• 如果$f\circ g$ 是满射，则$f$是满射。
• 如果$f$和$g$皆为满射，则$f\circ g$为满射。
• $f:X\rightarrow Y$为满射，当且仅当给定任意函数$g,h:Y\rightarrow Z$满足$g\circ f=h\circ f$，则$g=h$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射，且$B$是$Y$的子集，则，$f(f^{-1}(B))=B$。因此，$B$能被其原像复原。
• 任意函数$h:X\rightarrow Y$能被一个适当的满射$f$和单射$g$分解为$h=g\circ f$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射函数，则$X$在基数意义上至少有跟$Y$一样多的元素。
• 如果$X$和$Y$皆为具有相同元素数的有限集合，则$f:X\rightarrow Y$是满射当且仅当$f$是单射。

相关条目

• 单射
• 双射