極值

在數學中，最大值與最小值（又被稱為極值）是指在一個域上函數取得最大值(或最小值)的點。這個域既可以是一個鄰域，又可以是整個函數域(這時極值稱為最值)。

定義

局部最大值: 如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x^*| < ε 的x都有f(x^*) ≥ f(x) 我們就把點x^*稱為一個函數 f 的局部最大值. 從函數圖像上看，局部最大值就像是山頂。

局部最小值：如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x^*| < ε 的x都有f(x^*) ≤ f(x) 我們就把點x^*稱為一個函數 f 的局部最小值. 從函數圖像上看，局部最小值就像是山谷的底部。

全局（或稱'絕對'）最大值如果點x^* 對於任何x都滿足f(x^*) ≥ f(x)，則點點x^*稱為全局最大值.同樣如果如果點x^* 對於任何x都滿足f(x^*) ≤ f(x)，則點點x^*稱為全局最小值. 全局最值一定是局部極值，反之則不然.

極值的概念不僅僅限於定義在實數域上的函數.定義在任何集合上的實數值函數都可以討論其最大最小值. 為了定義局部極值，函數值必須為實數，同時此函數的定義域上必須能夠定義鄰域. 鄰域的概念使得在x的定義域上可以有|x - x^*| < ε.

局部最大值（最小值）也被稱為極值(或局部最優值),全局最大值（最小值）也被稱為最值(或全局最優值).

求全局極值是最優化方法的目的.對於一元二階可導函數，求極值的一種方法是求駐點(亦稱為靜止點，停留點，英文原文為, stationary point),也就是求一階導數為零的點.如果在駐點(的二階導數為正，那麼這個點就是局部最小值;如果二階導數為負，則是局部最大值;如果為零，則還需要進一步的研究.

一般地，如果在駐點處的一階、二階、三階……直到N階導數都是零，而N+1階導數不為零，則當N是偶數且N+1階導數為正時，該點為極小值；當N是偶數且N+1階導數為負時，該點為極大值；如果N是奇數，則該點不是極值。

如果這個函數定義在一個有界區域內，則還要檢查局域的邊界點.

函數 $x^{2}$ 有惟一最小值，在x = 0　處取得.
函數 $x^{3}$ 沒有最值，也沒有極值，儘管其一階導數 $3x^{2}$ 在'x = 0處也為 0 .因為其二階導數(6x) 在該點也是0，但三階導數不是零.
函數cos(x)有無窮多個最大值，0, ±2π, ±4π, ..., 與無窮多個最小值　±π, ±3π, ... .

對於多變量函數，同樣存在在極值點的概念，但是也有鞍點的概念.