在數學 及經典力學 中，帕松括號 是哈密頓力學 中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統 中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，帕松括號用來定義一個帕松代數 ，而帕松流形 是一個特例。它們都是以西莫恩·德尼·帕松 而命名。
取決於時間的向量場演示圖。帕松括號是用這個向量場的分量函數定義的。 兩個取決於時間的向量場演示圖，表示了上一個向量場分量的梯度函數。 兩個取決於時間的向量場的叉積示意圖，表示了原向量場分量的梯度函數。兩個函數的括號是它們的 pq-梯度的叉積的長度。這說明了括號、梯度 與叉積 的關係；由無窮小梯度向量組成的平行四邊形 越大，括號越大。
在相空間 里，用正則坐標
(
q
i
,
p
j
)
{\displaystyle (q^{i},p_{j})}
f
(
q
,
p
)
,
g
(
q
,
p
)
{\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}
帕松括號 具有如下形式：
{
f
,
g
}
=
∑
i
=
1
N
[
∂
f
∂
q
i
∂
g
∂
p
i
−
∂
f
∂
p
i
∂
g
∂
q
i
]
.
{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right].}
哈密頓-雅可比運動方程 有一個使用帕松括號的等價表示。這可最直接地用坐標系表示。假設
f
(
p
,
q
,
t
)
{\displaystyle f(p,q,t)}
d
d
t
f
(
p
,
q
,
t
)
=
∂
f
∂
t
+
∂
f
∂
p
d
p
d
t
+
∂
f
∂
q
d
q
d
t
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.}
然後，取
p
=
p
(
t
)
{\displaystyle p=p(t)}
q
=
q
(
t
)
{\displaystyle q=q(t)}
q
˙
=
∂
H
/
∂
p
{\displaystyle {\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}}
p
˙
=
−
∂
H
/
∂
q
{\displaystyle {\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}}
d
d
t
f
(
p
,
q
,
t
)
=
∂
f
∂
t
+
∂
f
∂
q
∂
H
∂
p
−
∂
f
∂
p
∂
H
∂
q
=
∂
f
∂
t
+
{
f
,
H
}
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}.}
從而，辛流形上一個函數 f 的演化可用辛同胚 單參數族 給出，以時間 t 為參數。丟掉坐標系，我們有
d
d
t
f
=
(
∂
∂
t
−
{
H
,
⋅
}
)
f
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\cdot \,\}\right)f.}
算子
−
{
H
,
⋅
}
{\displaystyle -\{\,H,\cdot \,\}}
劉維爾算子 。
一個可積動力系統 可能有能量以外的運動常數 。這樣的運動常數在帕松括號下將與哈密頓量 交換。假設某個函數
f
(
p
,
q
)
{\displaystyle f(p,q)}
p
(
t
)
,
q
(
t
)
{\displaystyle p(t),q(t)}
哈密頓運動方程 的一條軌跡 或解，則沿着軌跡有
0
=
d
f
d
t
{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}}
0
=
d
d
t
f
(
p
,
q
)
=
∂
f
∂
p
d
p
d
t
+
∂
f
∂
q
d
q
d
t
=
∂
f
∂
q
∂
H
∂
p
−
∂
f
∂
p
∂
H
∂
q
=
{
f
,
H
}
{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(p,q)={\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}}
這裏中間步驟利用運動方程得到。這個方程稱為劉維爾方程 。劉維爾定理 描述了如上給出的一個測度 （或相空間上分佈函數 ）的時間演化。
為了使一個哈密頓系統完全可積 ，所有的運動常數必須互相對合。
設 M 是一個辛流形 ，即流形 上帶有一個辛形式 （閉 的非退化2-形式 ）：
ω
{\displaystyle \omega }
d
ω
=
0
{\displaystyle d\omega =0}
ω
:
ξ
∈
v
e
c
t
[
M
]
→
i
ξ
ω
∈
Λ
1
[
M
]
{\displaystyle \omega :\xi \in \mathrm {vect} [M]\rightarrow i_{\xi }\omega \in \Lambda ^{1}[M]}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
~
:
Λ
1
[
M
]
→
v
e
c
t
[
M
]
{\displaystyle {\tilde {\omega }}:\Lambda ^{1}[M]\rightarrow \mathrm {vect} [M]}
d
{\displaystyle d}
M 上內蘊的外導數 運算，而
i
ξ
θ
{\displaystyle i_{\xi }\theta }
內乘 或縮並 運算，在 1-形式
θ
{\displaystyle \theta }
θ
(
ξ
)
{\displaystyle \theta (\xi )}
由外微分 的公理，我們由：
i
[
v
,
w
]
ω
=
d
(
i
v
i
w
ω
)
+
i
v
d
(
i
w
ω
)
−
i
w
d
(
i
v
ω
)
−
i
w
i
v
d
ω
,
{\displaystyle i_{[v,w]}\omega =d(i_{v}i_{w}\omega )+i_{v}d(i_{w}\omega )-i_{w}d(i_{v}\omega )-i_{w}i_{v}d\omega ,\,}
這裏
[
v
,
w
]
{\displaystyle [v,w]}
李括號 ，其性質本質上定義了 M 上流形結構。
如果 v 使得
d
(
i
v
ω
)
=
0
{\displaystyle d(i_{v}\omega )=0}
ω
{\displaystyle \omega }
余閉 ）。類似地，如果
i
v
ω
=
d
f
{\displaystyle i_{v}\omega =df}
f 成立，我們稱 v
ω
{\displaystyle \omega }
余恰當 ）。已知
d
ω
=
0
{\displaystyle d\omega =0}
v and w 都余閉時，表達式中惟一非零項是
d
(
i
v
i
w
ω
)
{\displaystyle d(i_{v}i_{w}\omega )}
d
∘
d
=
0
{\displaystyle d\circ d=0}
抽象代數 的話來說，余閉向量場組成了 M 上光滑向量場李代數 的一個子代數 ，而余恰當向量場組成這個子代數的一個代數理想 。
假設存在逆映射
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\omega }}}
M 上每個光滑實值函數 f 可以與一個余恰當向量場相伴
ω
~
(
d
f
)
{\displaystyle {\tilde {\omega }}(df)}
d 的核，即在 M 的任何連通分支上是常數）。這樣我們定義
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
帕松括號 ，為可微 函數 上一個雙線性 運算，在帕松括號下
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
代數 。它由下式給出：
{
f
,
g
}
=
i
ω
~
(
d
f
)
d
g
=
−
i
ω
~
(
d
g
)
d
f
=
−
{
g
,
f
}
{\displaystyle \{f,g\}=i_{{\tilde {\omega }}(df)}dg=-i_{{\tilde {\omega }}(dg)}df=-\{g,f\}\,}
帕松括號的反對稱性由外導數 的公理與條件
d
ω
{\displaystyle d\omega }
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\omega }}}
雙向量 聯繫起來，這不是外微分中常見的對象。這種形式它稱為這個辛流形上帕松雙向量 或帕松結構 ，帕松括號簡單地寫做
{
f
,
g
}
=
ω
~
(
d
f
,
d
g
)
{\displaystyle \{f,g\}={\tilde {\omega }}(df,dg)}
光滑函數上的帕松括號對應於余恰當向量場上的李括號並繼承了它的性質。從而它滿足雅可比恆等式 ：
{
f
,
{
g
,
h
}
}
+
{
g
,
{
h
,
f
}
}
+
{
h
,
{
f
,
g
}
}
=
0
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0\,}
關於一個特定的數量場 f 的帕松括號
{
f
,
_
}
{\displaystyle \{f,\_\}}
ω
~
(
d
f
)
{\displaystyle {\tilde {\omega }}(df)}
李導數 。從而，它是一個導子 ，即它滿足萊布尼茲法則 ：
{
f
,
g
h
}
=
{
f
,
g
}
h
+
g
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}\,}
這是流形的一個基本性質，關於兩個向量場的李導數運算的交換子 等價於關於某個向量場的李導數，即它們的李括號。帕松括號中平行的腳色顯然是雅可比恆等式的一個變形：
{
f
,
{
g
,
h
}
}
−
{
g
,
{
f
,
h
}
}
=
{
{
f
,
g
}
,
h
}
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{\{f,g\},h\}\,}
如果 f 和 g 的帕松括號消失（
{
f
,
g
}
=
0
{\displaystyle \{f,g\}=0}
f 與 g 稱為互相對合 （mutual involution ），並有關於 f 和 g 取帕松括號的運算交換。
帕松括號 是反交換的 ，也滿足雅可比恆等式 。這使得辛流形 上的光滑函數 空間成為無限維的李代數 ，以帕松括號為李括號 。相應的李群 是辛流形的辛同胚 群（也稱為正則變換 ）。
給定一個可微切叢 上的向量場 X ，令
P
X
{\displaystyle P_{X}}
共軛動量 。這個從場到共軛動量的映射為從帕松括號到李括號 的李代數 反同態：
{
P
X
,
P
Y
}
=
−
P
[
X
,
Y
]
{\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}\,}
這個重要結果值得我們給個簡短證明。記位形空間 的 q 點的向量場 X 為
X
q
=
∑
i
X
i
(
q
)
∂
∂
q
i
{\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
其中
∂
/
∂
q
i
{\displaystyle \partial /\partial q^{i}}
X 的共軛動量的表達式為
P
X
(
q
,
p
)
=
∑
i
X
i
(
q
)
p
i
{\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}
這裏
p
i
{\displaystyle p_{i}}
相空間 的每點
(
q
,
p
)
{\displaystyle (q,p)}
{
P
X
,
P
Y
}
(
q
,
p
)
=
∑
i
∑
j
{
X
i
(
q
)
p
i
,
Y
j
(
q
)
p
j
}
{\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}(q,p)=\sum _{i}\sum _{j}\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\}}
=
∑
i
j
p
i
Y
j
(
q
)
∂
X
i
∂
q
j
−
p
j
X
i
(
q
)
∂
Y
j
∂
q
i
{\displaystyle =\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}}
=
−
∑
i
p
i
[
X
,
Y
]
i
(
q
)
{\displaystyle =-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)}
=
−
P
[
X
,
Y
]
(
q
,
p
)
{\displaystyle =-P_{[X,Y]}(q,p)\,}
以上對所有
(
q
,
p
)
{\displaystyle (q,p)}
![{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right].}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7c845fdc056a07b87896e831f6b4c897bb2c21)
![{\displaystyle \omega :\xi \in \mathrm {vect} [M]\rightarrow i_{\xi }\omega \in \Lambda ^{1}[M]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/98992ceecc54b501a1f1e2bcf9ff2dbc14d80da6)
![{\displaystyle {\tilde {\omega }}:\Lambda ^{1}[M]\rightarrow \mathrm {vect} [M]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f76197c75253f15e76500fd61d7f7ceed9ab879)
![{\displaystyle i_{[v,w]}\omega =d(i_{v}i_{w}\omega )+i_{v}d(i_{w}\omega )-i_{w}d(i_{v}\omega )-i_{w}i_{v}d\omega ,\,}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/42075304d8533c6321397172da0aaaa8737b7022)
![{\displaystyle [v,w]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/81599dd26b00c77086bda71448f9011328e690f1)
![{\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}\,}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9fd6a609dcfbb894df45602b56345e90151d478)
![{\displaystyle =-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/604325784f517d88a8dbdc3c6c16c6bf6cbe461d)
![{\displaystyle =-P_{[X,Y]}(q,p)\,}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a40987db396ad06f228de74295360335b1a3cc6)