包絡定理(Envelop Theorem)是帶參數的最佳化問題中的一個定理。這個定理的內容是,參數的值變動時,目標函數的變動只和參數的變動有關,而與自變數(因參數變動而引起)的變動無關。包絡定理在最佳化領域非常有用。
設是上的可微實函數,其中是自變數,是參數,目標是選擇適當的以極大化/極小化。設,其中為取最大值/最小值時的,則包絡定理即
- 。[1][2]
根據全微分公式有
- 。
因為取最值時必有對的一階偏導數為零,即
- ,
故可得到
- ,
也即成立。
在無約束的情形下加上個同樣可微的實約束函數,則包絡定理變為
- ,
其中是拉格朗日函數。
證明過程與無約束時類似,只是取最值時變為。