康托爾悖論
在數學中，康托爾悖論是集合論的一個定理，即沒有最大的基數，所以「無限大小」的搜集自身是無限的。進一步的，從這個事實得出這個搜集不是集合而是真類；在von Neumann-Bernays-Gödel集合論中從這個事實得出大小限制公理，即這個真類和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有無限多個無限，而是這個無限大於無限的任何枚舉。
這個悖論以德國數學家格奧爾格·康托爾命名，他在1899年（或在1895年到1897年之間）首先提出了它。像多數數學悖論一樣，它實際上不是矛盾，而是在關於無限本質和集合概念的情況下錯誤直覺的體現。換個方式說，它在樸素集合論中的確是悖論，從而證實了這個理論對數學發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。
陳述和證明
[編輯]為了陳述這個悖論必須理解容許排序的基數，因此你可以談論一個事物大於或小於另一個。則康托爾悖論是：
- 定理:沒有最大的基數。
這個事實上是康托爾定理的直接結論，該定理的內容是關於一個集合的冪集的勢。
- 證明: 假定相反情況，並設 C 為最大基數。則（在馮·諾伊曼基數指派中）C 是一個集合因此有冪集 2C，通過康托爾定理，它有嚴格的大於 C 的勢。但根據定義 C 的勢已經是最大的了，所以得出矛盾。因此，不存在最大的基數。
參見 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中包括了這不是悖論和康托爾不認為這是悖論的有關探討。
討論和結論
[編輯]因為基數是通過序數標定（indexing）而是良序的，（參見基數 (數學) § 基數序列及連續統假設），這也確立了沒有最大序數；反過來，後者陳述蘊涵了康托爾悖論。通過應用這個標定到布拉利-福爾蒂悖論，我們還總結出基數們是真類而不是集合，而（至少在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合論中）由此可知，存在基數的類和所有集合的類之間的雙射。因為所有集合是後者這個類的子集，而所有勢都是一個集合的勢（根據定義），直覺上這就是說基數的搜集的「勢」大於任何集合的勢：它比任何真無窮更加無窮。這是康托爾悖論的悖論本質。
歷史注釋
[編輯]儘管通常認定康托爾是第一個提出基數集合的這個性質的人，有些數學家認為這個貢獻是伯蘭特·羅素做出的，他在1899年或1901年定義了類似的定理。
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Anellis, I.H. Drucker, Thomas , 編. "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic. Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston. 1991: 33-46.
- Moore, G.H. and Garciadiego, A. Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins. Historia Math: 319–350.
