群環

在抽象代數中，群環是從一個群 $G$ 及交換環 $R$ 構造出的環，通常記為 $R[G]$ 或 $RG$。其定義為：

$R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad$ （換言之，這是由基底 $\{e_{g}:g\in G\}$ 張出的自由 $R$-模）

其上的 $R$-線性乘法運算由 $e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}$ 給出。$R[G]$ 對 $R$-模的加法與上述乘法形成一個 $R$-代數。乘法單位元素為 $1:=e_{e}$。

最常用的是 $R=\mathbb {Z}$ 或 $R=\mathbb {C}$ 的群環。對於後者，$\mathbb {C} [G]$ 成為 $G$ 的表示：$s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}$；若 $G$ 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 $G$，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 $C_{c}(G)$ 或 $L^{1}(G)$ 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

例子

令 $G=C_{3}$ ，即階為 $3$ 的循環群，其中 $a$ 為群的一個生成元， $1_{G}$ 為其單位元。群環 $\mathbb {C} [G]$ 中的元素 $r$ 可以表示成

$z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}$

其中 $z_{0}$ ，$z_{1}$ 以及 $z_{2}$ 皆為 $\mathbb {C}$ 中的元素，即複數。

對群環中其他的元素 $s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$ ，我們可以定義群環的加法

$r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}$

以及乘法

$rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}=(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{1}w_{1}+z_{2}w_{0})a^{2}$

文獻

• A. A. Bovdi, Group algebra, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)