z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z 的淡蓝色直线是 z 的模长或绝对值。角
φ
{\displaystyle \varphi }
z 的辐角数学 中，复平面 （英語：Complex plane ）是用水平的实轴 虚轴 複數 的几何表示。可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面 （实平面 ）实部 用沿着 x-轴的位移表示，虚部 用沿着 y-轴的位移表示[ 1]
复平面有时也叫做阿尔冈平面 ，因为它用于阿尔冈图 中。这是以让-罗贝尔·阿尔冈 （1768-1822）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔 （1745-1818）叙述的[ 2] 函数 的极点 与零点 的位置。
复平面的想法提供了一个复数的几何解释 。在加法 下，它们像向量 一样相加；两个复数的乘法 在极坐标 下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值 或模长的乘积，乘积的角度或辐角 是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转 。
在复分析 中复数通常用符号
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy\,}
这里
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
i
{\displaystyle i}
虚单位 。在这种通常记法下复数
z
{\displaystyle z}
笛卡儿平面 中的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
笛卡儿平面中的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
极坐标 中也能表示为
(
x
,
y
)
=
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
(
r
=
x
2
+
y
2
;
θ
=
arctan
y
x
)
.
{\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad \left(r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arctan {\frac {y}{x}}\right).\,}
在笛卡儿平面中可能假设反正切函數
arctan
{\displaystyle \arctan }
−
π
{\displaystyle -\pi }
π
{\displaystyle \pi }
弧度 （当
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
[ 3] 欧拉公式 ）
z
=
x
+
i
y
=
|
z
|
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
|
z
|
e
i
θ
{\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }\,}
这里
|
z
|
=
x
2
+
y
2
;
θ
=
arg
(
z
)
=
−
i
ln
z
|
z
|
.
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}
[ 4] 这里
|
z
|
{\displaystyle |z|}
z
{\displaystyle z}
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
辐角 ，通常取值于区间
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
|
z
|
e
i
θ
{\displaystyle |z|e^{i\theta }}
欧拉公式 。注意
z
{\displaystyle z}
复指数函数 是周期为
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
θ
{\displaystyle \theta }
arg
z
{\displaystyle \arg z}
arg
z
=
θ
+
2
n
π
{\displaystyle \arg z=\theta +2n\pi }
n
{\displaystyle n}
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
[ 5]
围道积分 理论是复分析的重要组成部分。在此情形，沿着闭曲线的积分方向是要紧的——沿着相反的方向所得的积分值乘以 −1。习惯上“正方向”是逆时针方向。例如，沿着单位圆 我们从点
z
=
1
{\displaystyle z=1}
z
=
i
{\displaystyle z=i}
−
i
{\displaystyle -i}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
几乎所有复分析专注复函数 ——即将复平面的一个子集映到复平面某个另外的（可能相交甚至重合）子集。这里习惯说
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
定义域 位于 z -平面上，并称
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
值域 或像作为 w -平面中的一个点集。用符号记成
z
=
x
+
i
y
;
f
(
z
)
=
w
=
u
+
i
v
,
{\displaystyle z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv,\,}
并经常将函数
f
{\displaystyle f}
z -平面（带有坐标
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
w -平面（带有坐标
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
将复平面视为一个球面 的一部分是有用的。给定一个单位半径球面，使复平面穿过其正中间，这样球的中心与复平面的原点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
赤道 与平面的单位圆 重合。
我们可以将球面上的点与复平面建立如下一一对应 。给定平面上一点，连接这一点与球面的北极之直线与球面恰好交于另一点。点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
在这个球极平面投影中只北极这一点，不能对应到复平面上任何一点。我们将其变成一一对应，添加一个理想的点——所谓的无穷远点 ——到复平面上，使其与球面的北极对应。复平面添加一个无穷远点这个拓扑空间，称为扩充复平面 。这就是数学家在讨论复分析时为什么说单个无穷远点。在实数轴上有两个无穷远点，但扩充复平面上只有一个（北极）无穷远点[ 6]
想象一下球面上的经线和纬线投影到平面上会变成什么。平行于赤道的所有纬线，它们将变为以原点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
这不是从球面到平面惟一的球极平面投影。例如，球面的南极点可能置于平面的原点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
当讨论一个复变函数时，想象“切割”复平面经常会有方便之处。这种想法自然出现于多种不同情境。
考虑简单的二值关系
w
=
f
(
z
)
=
±
z
=
z
1
2
.
{\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}.\,}
在我们可将这个关系处理为单值函数 之前，所得值域必须做些限制。在处理实数的平方根时这是容易做到的。例如，我们可定义
y
=
g
(
x
)
=
x
=
x
1
2
{\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}\ =x^{\frac {1}{2}}\,}
为非负实数
y
{\displaystyle y}
y
2
=
x
{\displaystyle y^{2}=x}
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
e
i
θ
⇒
w
=
z
1
2
=
e
i
θ
2
(
0
≤
θ
≤
2
π
)
.
{\displaystyle z=e^{i\theta }\qquad \Rightarrow \qquad w=z^{\frac {1}{2}}=e^{\frac {i\theta }{2}}\qquad (0\leq \theta \leq 2\pi ).\,}
显然，当
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
问题之出现是由于在点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
分支点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
分支切割 （branch cut ）；在这种情形可以从
z
=
0
{\displaystyle z=0}
0
≤
arg
z
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \arg z<2\pi }
现在我们可以给出
w
=
z
1
2
{\displaystyle w=z^{\frac {1}{2}}}
z -平面副本，每一个沿着实轴剪开。在一个副本上我们定义 1 的平方根为
e
0
=
1
{\displaystyle e^{0}=1}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
w
=
z
1
2
{\displaystyle w=z^{\frac {1}{2}}}
w -平面，
0
≤
arg
w
<
π
{\displaystyle 0\leq \arg w<\pi }
w -平面，
π
≤
arg
w
<
2
π
{\displaystyle \pi \leq \arg w<2\pi }
[ 7]
这个例子中的分支切割不必非要沿着实轴，甚至不必是直线。任何连接原点
z
=
0
{\displaystyle z=0}
w
=
g
(
z
)
=
(
z
2
−
1
)
1
2
.
{\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{\frac {1}{2}}.\,}
这里多项式
z
2
−
1
{\displaystyle z^{2}-1}
z
=
±
1
{\displaystyle z=\pm 1}
g
{\displaystyle g}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
这种情况使用如上所述的球极平面投影 最容易看清。在球面上一种切割是沿着连接赤道上两点
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
无穷远点 ）的经线。
亚纯函数是在其定义域中除了有限或可数无穷 个点之外全纯 从而解析 的复函数[ 8] 极点 。有时所有极点位于一条直线上，在这种情形说这个函数在“切开的平面上全纯”。这里是一个简单的例子。
Γ函数 ，其定义为
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
n
]
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}\right]\,}
这里
γ
{\displaystyle \gamma }
欧拉-马歇罗尼常数 ，当
z
{\displaystyle z}
无穷乘积 的分母恰有一个为零，故
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
[ 9]
z
=
0
{\displaystyle z=0}
“在切开的复平面上全纯，切割是沿着负实轴从 0（包含）到无穷远点。”
或者，
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
“在切开的复平面
−
π
<
arg
z
<
π
{\displaystyle -\pi <\arg z<\pi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
注意这种切割与我们能刚才遇到的分支截断稍有不同，因为这事实上在切开的复平面上除去了实轴。分支截断留下实轴作为切开复平面的一边（
0
≤
θ
{\displaystyle 0\leq \theta }
0
<
2
π
{\displaystyle 0<2\pi }
当然，为了构造
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
留数定理 得到的围道积分 不必为零。通过切开复平面我们不仅确保
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
许多复函数是用无穷级数 或连分数 定义的。分析这些无穷长表达式的一个基本考虑是确定它们收敛为一个有限值的复平面区域。平面上一个切割可能对这个过程有帮助，如下例所示。
考虑由无穷级数定义的函数
f
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
z
2
+
n
)
−
2
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.\,}
因为
z
2
=
(
−
z
)
2
{\displaystyle z^{2}=(-z)^{2}}
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
偶函数 ，所以可以限制在半个复平面上分析。又因为当
z
2
+
n
=
0
⇔
z
=
±
i
n
,
{\displaystyle z^{2}+n=0\quad \Leftrightarrow \quad z=\pm i{\sqrt {n}},\,}
时级数没有定义，有理由沿着整个虚轴切开平面，使这个级数在实部不为零的收敛，当
z
{\displaystyle z}
[ 10]
这个例子中切割不过是方便之举，因为无穷和无定义的点是离散的，且切开的平面可被一个合适的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必须的，不止是为了方便。考虑无穷周期连分数
f
(
z
)
=
1
+
z
1
+
z
1
+
z
1
+
z
⋱
.
{\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.\,}
可以证明
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
z
<
−
1
4
{\displaystyle z<-{\frac {1}{4}}}
−
1
4
{\displaystyle -{\frac {1}{4}}}
[ 11]
我们已经见到 关系
w
=
f
(
z
)
=
±
z
=
z
1
2
,
{\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}},\,}
怎样通过将
f
{\displaystyle f}
黎曼曲面
f
(
z
)
=
z
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}
w -平面（除去点
w
=
0
{\displaystyle w=0}
考虑两个切开的复平面副本，切割沿着正实轴从
z
=
0
{\displaystyle z=0}
0
≤
arg
z
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \arg z<2\pi }
1
1
2
=
e
0
=
1
{\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{0}=1}
2
π
≤
arg
z
<
4
π
{\displaystyle 2\pi \leq \arg z<4\pi }
1
1
2
=
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{i\pi }=-1}
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
θ
<
4
π
{\displaystyle \theta <4\pi }
θ
=
2
π
{\displaystyle \theta =2\pi }
θ
<
2
π
{\displaystyle \theta <2\pi }
f
(
z
)
=
z
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}
[ 7]
为了理解为什么
f
{\displaystyle f}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
θ
=
2
π
{\displaystyle \theta =2\pi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
θ
=
4
π
{\displaystyle \theta =4\pi }
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
w -片面的像只绕一周。
形式微分说明
f
(
z
)
=
z
1
2
⇒
f
′
(
z
)
=
1
2
z
−
1
2
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}\quad \Rightarrow \quad f^{\prime }(z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}z^{-{\frac {1}{2}}}\,}
由此我们可说
f
{\displaystyle f}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
f
{\displaystyle f}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
上面讨论 过的函数
w
=
g
(
z
)
=
(
z
2
−
1
)
1
2
,
{\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{\frac {1}{2}},\,}
的黎曼曲面如何构造呢？我们同样从两个 z -平面副本开始，但这一次每个沿着实轴从
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
g
{\displaystyle g}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
{\displaystyle z}
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
w
{\displaystyle w}
w
{\displaystyle w}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
这个例子中标记
θ
=
arg
z
{\displaystyle \theta =\arg z}
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }
π
<
θ
≤
3
π
{\displaystyle \pi <\theta \leq 3\pi }
xy -平面。则这个平面上出现一个铅直洞，在此处两个切割连接起来。如果当切割是从
z
=
−
1
{\displaystyle z=-1}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
拓扑 上说，这两个黎曼曲面是等价 的，它们都是亏格 为 1 的可定向 二维曲面。
本文中上面几节将“复平面”处理为复数的几何类比。尽管术语“复平面”这种用法具有长期与数学悠久的历史，但并不意味着是惟一的称之为“复平面”的数学概念。至少有三种其它可能。
1 + 1 维闵可夫斯基空间 ，也称为分裂复平面 ，代数分裂复数 可分解为两个实数部分，容易将其关联到笛卡儿平面里的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
实数上的二元数 集合也能与笛卡儿平面中的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
向量空间 C ×C ，复数与自身的笛卡儿积 ，是一个其坐标为复数的二维向量空间，在这种意义下也是一个“复平面”。
^ 尽管这是术语“复平面”最通常的数学意义，但不是惟一意义。其它包括分裂复平面 二元数 ，以商环 引入。
^ 韦塞尔研究报告1797年提交到丹麦学院；阿尔冈的论文1806年发表。（Whittaker & Watson, 1927, p. 9）
^ 詳細定義見複數 條目，用到的反正切函數的變種稱為Atan2 。
^ 可以直接由幂级数 e z Appendix ）复指数函数、三角函数与复对数函数所有熟知的性质。特别地，logr 的主值，这里 |r |=1，可不引用任何几何或三角构造算出来。参见此文 。
^ (Whittaker & Watson, 1927, p. 10)
^ (Flanigan, 1983, p. 305)
^ 7.0 7.1 (Moretti, 1964, pp. 113-119)
^ 另见证明亚纯函数全纯 。
^ 可以证明无穷乘积 Γ(z ) 在分母不为零的任何有界区域中一致收敛 ，从而定义了复平面上一个亚纯函数。(Whittaker & Watson, 1927, pp. 235-236)
^ 当 Re(z ) > 0 时，通过与 ζ (2) 比较，这个和在任何有界区域上一致收敛，这里 ζ (s ) 时黎曼zeta函数 。
^ (Wall, 1948, p. 39)
Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions , Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7 .
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable , Prentice-Hall, Inc., 1964.
H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 .
E. T. Whittaker and G. N. Watson , A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1927.
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}\right]\,}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/254ec25f50bea717940e786f5ed2e06ef40b8710)
