截角十二面体

截角十二面体
	; (按這裡觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	三角化二十面體
識別
名稱	截角十二面体
參考索引	U26, C29, W10
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tid
數學表示法
考克斯特符號; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t{5,3}
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	2 3 \| 5
康威表示法	tD
性質
面	32
邊	90
頂點	60
歐拉特徵數	F=32, E=90, V=60 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形; 正十邊形
面的佈局; （英语：Face configuration）	20個{3}; 12個{10}
頂點圖	3.10.10
對稱性
對稱群	Ih群
特性
	-
圖像
	; 3.10.10; （頂點圖）
; 三角化二十面體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	查; 论; 编;

在幾何學中，截角十二面體是一種由正十邊形和正三角形組成的三十二面體^[1]，是一種阿基米德立體^[2]。其每個頂點都是1個三角形和2個十邊形的公共頂點，具有每個頂角相等的性質，因此截角十二面體是一種半正多面體^[3]。

性質

截角十二面體共有32個面、90條邊和60個頂點^[4]，每個頂點都是1個三角形和2個十邊形的公共頂點，其頂點圖可以用3.10.10來表示，也可以簡寫為3.10²^[5]。

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面，並在原本的頂點處形成正三角形。

邊長為a的截角十二面體體積V和表面積A分別為：

A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}

V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}

邊長為2φ − 2且幾何中心位於原點的截角十二面體^[6]其頂點座標為^[7]：

\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)

、

\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)

、

(±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，為黃金比例.

截角十二面体對應的結構也可以構建成球面鑲嵌，並以球極平面投影的方式呈現。

正投影圖（英语：Orthographic projection）	球極平面投影
	以十邊形為中心	以正三角形為中心
透視圖	施萊格爾圖

有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點布局，換句話說，及他們與截角十二面體共用頂點、或者可以具有相同的頂點座標。這些多面體有^[8]^[9]^[10]：

截角十二面體（原像）	大二十合二十合十二體（英语：Great icosicosidodecahedron）	大二重三角十二合二十合十二面體（英语：Great ditrigonal dodecicosidodecahedron）	大十二合二十面体（英语：Great dodecicosahedron）

Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated Dodecahedron. MathWorld.
^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010.
^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu.
^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.10²." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld.
^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-12）.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大二十合二十合十二體. MathWorld.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大二重三角十二合二十合十二面體. MathWorld.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大十二合二十面體. MathWorld.
^ N.W. Johnson（英语：Norman Johnson (mathematician)）: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966