馬克士威方程組

詹姆斯·馬克士威

馬克士威方程組（Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程。它是由四個方程式組成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的馬克士威-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。馬克士威方程組是因英国物理学家詹姆斯·馬克士威而命名。馬克士威在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。

術語「馬克士威方程組」時常會用來指稱一些其它形式的馬克士威方程組。例如，在高能物理學與引力物理學裏，通常會用到時空表述。這種表述建立於結合時間與空間在一起的愛因斯坦時空概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現的牛頓絕對時空概念。愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論與廣義相對論。在量子力學與分析力學裏，基於電勢與磁勢的馬克士威方程組版本比較獲人們青睞。

自從20世紀中期以來，物理學者已明白馬克士威方程組不是精確规律，它也無法解釋一些基礎性問題，例如，電子、質子、夸克等等基礎粒子的物理行為，而是更精確和更具有基礎性的量子電動力學理論的一種經典場論近似。然而對於大多數案例，從馬克士威方程組經過運算獲得的解答跟實際解答的分歧甚為微小。反例包括有非經典光、光子光子散射、量子光學與許多其它與光子或虛光子相關的現象。

從馬克士威方程組，可以推論出光波是電磁波。馬克士威方程組和勞侖茲力方程式是經典電磁學的基礎方程式。從這些基礎方程式的相關理論，發展出現代的電力科技與電子科技。

概論

馬克士威方程組是由四個一階線性偏微分方程共同組成。雖然一階與線性都是良好的數學性質，除了具有高度對稱性的案例以外，通常，不能找到它的解析解，因此，必須使用數值方法來找到它的數值解。但是，由於電動力學是線性理論，可以利用疊加原理來找到問題的解答。

高斯定律

高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，這定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷之間的關係。

高斯磁定律: 磁場線從來沒有初始點也沒有終止點，但是形成迴圈或延伸到無窮遠，如圖這裡因為電流環與磁場。

高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁單極子實際上並不存在於宇宙（至今為止，尚未被發現），沒有"磁荷"。一種稱為偶極子的位形可以生成由物質產生的磁場。磁偶極子最適合由電流迴路來表現，它的物理行為如同不可分割地束縛在一起正和負“磁荷”，它的淨“磁荷”為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，必需從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，磁場是一個螺線向量場。

法拉第感應定律

法拉第感應定律描述時變磁場怎樣生成（感應出）電場。電磁感應是許多發電機的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵會產生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉迴圈因而感應出電流。

馬克士威-安培定律

馬克士威-安培定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠電流（原本安培定律描述的方法），另一種是靠時變電場（馬克士威修正項描述的方法）。在電磁學裏，馬克士威修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由於法拉第感應定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，兩個方程式在理論上允許電磁波自我持續傳播於空間（更詳盡內容，請參閱條目電磁波方程式）。

方程組彙覽

採用不同的單位制，馬克士威方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程式內部不同位置。國際單位制(SI)是最常使用的單位制，整個工程學領域都採用這種單位制，大多數化學家也都使用這種單位制，大學物理教科書幾乎都採用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、勞侖茲-黑維塞單位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合於教學用途，能夠使得方程式看起來更簡單、更易懂。稍後會詳細闡述高斯單位制。勞侖茲-黑維塞單位制也是衍生於厘米-克-秒制，主要用於粒子物理學；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據大自然的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本段落裏，所有方程式都採用國際單位制。

這裏展示出馬克士威方程組的兩種等價表述。第一種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為馬克士威-安培定律內的總電流。這種表述採用比較基礎、微觀的觀點。這種表述可以應用於計算在真空裏有限源電荷與源電流所產生的電場與磁場。但是，對於物質內部超多的電子與原子核，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經典電磁學也不需要這麼精確的答案。

第二種表述以自由電荷和自由電流為源頭，而不直接計算出現於介電質的束縛電荷和出現於磁化物質的束縛電流和電極化電流所給出的貢獻。由於在一般實際狀況，能夠直接控制的參數是自由電荷和自由電流，而束縛電荷、束縛電流和電極化電流是物質經過極化後產生的現象，採用這種表述會使得在介電質或磁化物質內各種物理計算更加簡易。

馬克士威方程組似乎是超定的（overdetermined）方程組，它只有六個未知量（向量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設定並符合電荷守恆的物理量），但卻有八個方程式（兩個高斯定律共有兩個方程式，法拉第定律與安培定律各有三個方程式）。這狀況與馬克士威方程組的某種有限重複性有關。從理論可以推導出，任何滿足法拉第定律與安培定律的系統必定滿足兩個高斯定律。

微觀馬克士威方程組表格

以總電荷和總電流為源頭的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含馬克士威修正項)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}$

宏觀馬克士威方程組表格

以自由電荷和自由電流為源頭的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含馬克士威修正項)	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {D} }}{\mathrm {d} t}}$

馬克士威方程組術語符號表格

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：

物理意義和單位

符號	物理意義	國際單位
$\mathbf {E} \$	電場	伏特／公尺、牛頓／庫侖
$\mathbf {B} \$	磁感應強度	特斯拉、韋伯／公尺2、伏特·秒／公尺2
$\mathbf {D} \$	電位移	庫侖／公尺2、牛頓／伏特·公尺
$\mathbf {H} \$	磁場強度	安培／公尺
$\mathbf {\nabla \cdot }$	散度算符	／公尺
$\mathbf {\nabla \times }$	旋度算符
${\frac {\partial }{\partial t}}$	對於時間的偏導數	／秒
$\mathbb {S}$	曲面積分的運算曲面	公尺2
$\mathbb {L}$	路徑積分的運算路徑	公尺
$\mathrm {d} \mathbf {s}$	微小面元素向量	公尺2
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$	微小線元素向量	公尺
$\varepsilon _{0}\$	電常數	法拉／公尺
$\mu _{0}\$	磁常數	亨利／公尺、牛頓／安培2
$\ \rho _{f}\$	自由電荷密度	庫侖／公尺3
$\ \rho \$	總電荷密度	庫侖／公尺3
$Q_{f}$	在閉曲面$\mathbb {S}$裏面的自由電荷	庫侖
$Q$	在閉曲面$\mathbb {S}$裏面的總電荷	庫侖
$\mathbf {J} _{f}$	自由電流密度	安培／公尺2
$\mathbf {J}$	總電流密度	安培／公尺2
$I_{f}$	穿過閉路徑$\mathbb {L}$所包圍的曲面的自由電流	安培
$I$	穿過閉路徑$\mathbb {L}$所包圍的曲面的總電流	安培
$\Phi _{B}$	穿過閉路徑$\mathbb {L}$所包圍的曲面$\mathbb {S}$的磁通量	特斯拉·公尺2、伏特·秒，韋伯
$\Phi _{E}$	穿過閉路徑$\mathbb {L}$所包圍的曲面$\mathbb {S}$的電通量	焦耳·公尺/庫侖
$\Phi _{D}$	穿過閉路徑$\mathbb {L}$所包圍的曲面$\mathbb {S}$的電位移通量	庫侖

微觀尺度與宏觀尺度

馬克士威方程組通常應用於各種場的“宏觀平均”。当尺度縮小至微观（microscopic scale），以至于接近單獨原子大小的時侯，這些場的局部波动差异将变得无法忽略，量子現象也會開始出現。只有在宏觀平均的前提下，物理量像物質的電容率和磁導率才會得到有意義的定義值。

最重的原子核的半徑大約為7飛米（7× 10⁻¹⁵公尺）。所以，在經典電磁學裏，微觀尺度指的是尺寸的數量級大於10⁻¹⁴公尺。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點電荷，微觀馬克士威方程組成立；否則，必需將原子核內部的電荷分佈納入考量。在微觀尺度計算出來的電場與磁場仍舊變化相當劇烈，空間變化的距離數量級小於10⁻¹⁰公尺，時間變化的週期數量級在10⁻¹⁷至10⁻¹³秒之間。因此，從微觀馬克士威方程組，必需經過經典平均運算，才能得到平滑、連續、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10⁻⁸公尺。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀馬克士威方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10⁻²⁴立方公尺的立方體大約含有10⁶個原子核和電子。這麼多原子核和電子的物理行為，經過經典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據可靠文獻記載，經典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應。

經典平均運算是一種比較簡單的平均程序，給定函數$F(\mathbf {r} ,t)$，這函數的空間平均定義為

$F(\mathbf {r} ,t)=\int _{\mathbb {V} }w(\mathbf {r} ')F(\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t)\ \mathrm {d} ^{3}r'$；

其中，$\mathbb {V}$是平均運算的空間，$w(\mathbf {r} ')$是權重函數。

有很多種函數可以選為優良的權重函數$w(\mathbf {r} ')$，例如，高斯函數：

$w(\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi R^{2})^{3/2}}}e^{-r^{2}/R^{2}}$。

最早出現的馬克士威方程式和其相關理論是為宏觀物質設計的，是一種現象學。在那時候，物理學者並不清楚造成電磁現象的基本原因。後來，按照物質的粒子繪景，才推導出微觀馬克士威方程式。二十世紀前半期，在量子力學、相對論、與粒子物理學領域的突破與發展，其嶄新理論與微觀馬克士威方程組相結合，成為建立量子電動力學的關鍵基石。這是物理學中最準確的理論，所計算出的結果能夠精確地符合實驗數據。

證明兩種表述等價

前面所論述的馬克士威方程組的兩種表述，在數學上是等價的。

兩種高斯定律數學等價的證明

本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式 $\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}$， 等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。 電位移$\mathbf {D}$的定義式為 $\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$； 其中，$\mathbf {P}$是電極化強度。 束縛電荷密度$\rho _{bound}$的定義式為（請參閱電極化） $\rho _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\nabla \cdot \mathbf {P}$。 注意到$\rho$是總電荷密度： $\rho =\rho _{f}+\rho _{bound}=\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D} +\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E}$ 。 稍加編排， $\rho -\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D}$ 。 所以，$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}$若且唯若$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$。兩個方程式等價。

兩種馬克士威-安培定律數學等價的證明

本段落證明馬克士威-安培定律對於總電流的方程式 $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$， 等價於馬克士威-安培定律對於自由電流的方程式 $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件，因為，根據斯托克斯定理，對於這兩種馬克士威-安培定律的方程式，微分形式都分別等價於積分形式。 束縛電流密度$\mathbf {J} _{bound}$的定義式為（請參閱磁化強度） $\mathbf {J} _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M}$； 其中，$\mathbf {M}$是磁化強度。 假設總電流密度$\mathbf {J}$是 $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}$。 根據電荷守恆定律， $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$、 $\nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}=0$。 那麼， ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=\nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+\nabla \cdot \mathbf {J} _{bound}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {M} )+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&={\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$ 。 假若束縛電荷密度$\rho _{bound}$含時間，則電荷守恆定律無法被滿足。為了要滿足這定律，總電流密度必須加入一個項目，電極化電流密度$\mathbf {J} _{p}$，定義為： $\mathbf {J} _{p}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$。 那麼， $\nabla \cdot \mathbf {J} _{p}=\nabla \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}$。 因此，總電流密度$\mathbf {J}$是 $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}+\mathbf {J} _{p}=\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$。 磁場強度$\mathbf {H}$定義為 $\mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\mathbf {M}$。 稍加編排， ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {J} _{f}-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\ \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\\end{aligned}}$ 。 所以，$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$若且唯若$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。兩個方程式等價。

宏觀馬克士威方程組

束縛電荷和束縛電流

主条目：电流密度、束縛電荷和束縛電流

左半圖：一群微觀的電偶極子的共同作用，就好像以宏观距離分開，分別位於圖上方和圖下方的一對帶電薄面的有效作用（請注意，這些帶電表面所生成的電場，並不是原本造成電偶極子排列的電場，而是等價於這電偶極子排列的宏观表現出的電場）。右半圖：一群微觀的電流迴路的共同作用，就好像一個宏观的電流迴路的有效作用。假設電流迴路均勻分佈，則所有位於內部的電流迴路的貢獻都會互相抵銷；但是，位於邊界的電流迴路不會全部地抵銷，因而形成宏观的電流迴路。

假設，施加外電場於介電質，響應這動作，介電質的分子會形成一個微觀的電偶極子，顯示出伴隨的電偶極矩。分子的原子核會朝著電場的方向稍微遷移位置，而電子則會朝著相反方向稍微遷移位置。這形成了介電質的電極化。如右圖的理想狀況所示，雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛於其原本的分子，由於這些微小遷移所造成的電荷分佈，變得好像是在介電質的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負表面電荷。電極化強度定義為介電質內部的的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質內部，假設電極化強度$\mathbf {P}$是均勻的，則宏观的面束縛電荷只會出現於介電質表面，$\mathbf {P}$進入或離開介電質之處；否則，假設$\mathbf {P}$是不均勻的，則介電質內部也會出現束縛電荷。

與靜電學有些類似，在靜磁學裏，假設施加外磁場於物質，響應這動作，物質會被磁化，組成的原子會顯示出磁矩。在本質上，這磁矩與原子的各個亞原子粒子的角動量有關，其中，響應最顯著的是電子。這角動量的連結，不禁令人聯想到一副圖畫，在圖畫中，磁化物質變成了一群微觀的束縛電流迴路。雖然每一個電荷只是移動於其原子的微觀迴路，一群微觀的束縛電流迴路聚集在一起會形成宏观的面束縛電流循環流動於物質的表面。這些束縛電流可以用磁化強度來描述。磁化強度定義為磁偶極矩在一個磁化物質內的密度，也就是單位體積的磁偶極矩。

對於許多案例，原子行為和電子行為的微觀細節，可以使用較簡易的方法來處理。這樣，很多精密尺度的細節，對於研究物質的宏观行為並不重要，因此可以被忽略。這解釋了為甚麼要區分出束縛與自由的物理行為。

這些非常複雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏观尺度，可以分別以電極化強度與磁化強度來表達。電極化強度與磁化強度分別將這些束縛電荷與束縛電流以恰當的尺度做空間平均，這樣，可以除去單獨整體原子形成的凹凸粗糙結構，但又能夠顯示出強度隨著位置而變化的物理性質。由於所有涉及的向量場都已做過恰當體積的空間平均，宏观馬克士威方程組忽略了微觀尺度的許多細節，對於了解物質的宏观尺度性質，這些細節可能不具甚麼重要性。

本構關係

為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到$\mathbf {D}$場與$\mathbf {E}$場之間，和$\mathbf {H}$場與$\mathbf {B}$場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。

本構關係式的基礎建立於$\mathbf {D}$場與$\mathbf {H}$場的定義式：

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$、

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\mathbf {P}$是電極化強度，$\mathbf {M}$是磁化強度。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和電極化電流。

線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$；

其中，$\varepsilon$是物質的電容率，$\mu$是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組

對於線性、各向同性物質的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{f}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset (\varepsilon \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含馬克士威加法)	$\nabla \times (\mathbf {B} /\mu )=\mathbf {J} _{f}+\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\mathbb {L} }\ (\mathbf {B} /\mu )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}$

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }$的方程式為

$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }=\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \varepsilon \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和電極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面電極化電流。

一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從$\mathbf {D}$場與$\mathbf {H}$場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（transport phenomena）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$。

不同的是，$\varepsilon$和$\mu$不再是簡單常數，而是函數。例如，

• 色散或吸收：$\varepsilon$和$\mu$是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致$\varepsilon$和$\mu$為複值，也導致電磁波被物質吸收。
• 非線性：$\varepsilon$和$\mu$都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應和波克斯效應（Pockels effect）。
• 各向異性：例如，雙折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$和$\mu$都是二階張量：

$D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j}$、

$B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}$。

• 雙耦合各向同性（Bi-isotropy）或雙耦合各向異性（Bi-anisotropy）：在雙耦合各向同性物質裏，$\mathbf {D}$場與$\mathbf {H}$場分別各向同性地耦合於$\mathbf {E}$場與$\mathbf {B}$場：

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H}$、

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E}$；

其中，$\xi$與$\zeta$是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

在雙耦合各向異性物質裏，$\mathbf {D}$場與$\mathbf {H}$場分別各向異性地耦合於$\mathbf {E}$場與$\mathbf {B}$場，係數$\epsilon$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是張量。

• 在不同位置和時間，$\mathbf {P}$場與$\mathbf {M}$場分別跟$\mathbf {E}$場、$\mathbf {B}$場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，$\mathbf {P}$場與$\mathbf {M}$場計算為

$\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')$、

$\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t')$；

其中，$\chi _{\mathrm {e} }$是電極化率，$\chi _{\mathrm {m} }$是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可已被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（perfect metal），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置$\mathbf {r}$，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（Green–Kubo relations）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（plasma modeling）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（conglomerate）或疊層材料（laminate）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。

在自由空間的形式

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。

主条目：電磁波方程式

在自由空間裏，不需要考慮到介電質或磁化物質，由於源電流和源電荷為零，馬克士威方程組寫為

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$。

從這方程組，應用一些向量恆等式，經過一番運算，可以得到電場與磁場的波動方程式：

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0$、

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0$。

對於這兩個波動方程式，平面行進正弦波是個解答波，其電場和磁場相互垂直，並且分別垂直於行進的方向，因此是個橫波。電場與磁場同相位地以光速 $c$ 傳播：

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$。

仔細地觀察馬克士威方程組，就可以發現這方程組很明確地解釋了電磁波怎樣傳播於空間。根據法拉第感應定律，時變磁場會生成電場；根據馬克士威-安培定律，時變電場又生成了磁場。這不停的循環使得電磁波能夠以光速傳播於空間。

1856年，威廉·韋伯和鲁道夫·科尔劳施作萊頓瓶實驗，從實驗數據計算出 $c$ 的數值，他們發現，這數值非常接近於先前從天文學得到的光波傳播於行星際空間的速度。從這實驗結果，馬克士威正確地斷定光波就是一種電磁輻射。

磁單極子

主条目：磁單極子

馬克士威方程組將電場、磁場與電荷的運動相連結。在方程組中，他有給電荷安排位置，但並沒有給磁荷（磁单极子）安排位置。在粒子物理學裏，並沒有類比於電子的磁粒子。雖然如此，包括磁荷與磁流在內的馬克士威方程組是一門很熱門的理論研究題目。根據最新實驗結果，科學家發現，有一種稱為自旋冰（spin ice）的晶態物質，其宏觀物理行為很像磁單極子的物理行為。請注意，這發現並沒有違背磁荷從未被觀察到和可能不存在的事實。除了磁荷這例外，馬克士威方程組擁有對稱的形式。實際而言，當所有電荷等於零時，可以寫出對稱的方程組。請參閱前面的自由空間段落。

假設允許磁荷存在的可能，則也可以寫出完全對稱的方程組。馬克士威方程組內會增添兩個新的變量，磁荷$\rho _{m}$和磁流$\mathbf {J} _{m}$。採用厘米-克-秒制，延伸的馬克士威方程組表示為

馬克士威方程組（厘米-克-秒制）

名稱	磁單極子不存在	磁單極子存在
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{m}$
法拉第感應定律	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{m}$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$
請注意，刪除因子$c$，即可得到無單位的形式。

假若，磁荷不存在，或者假若它們不存在於某一個區域，則新增添的兩個變量$\rho _{m}$和$\mathbf {J} _{m}$都等於零，對稱的方程組約化為一般形式的馬克士威方程組。

邊界條件

主条目：邊值問題和初值問題

就像其它微分方程組，假若沒有合適的邊界條件與初始條件，則無法給出馬克士威方程組的唯一解答。

特別而言，在一個不含有任何自由電荷和自由電流的區域$\mathbb {R}$內的電磁場，必定是來自於其它區域。當解析這狀況時，通過適當的邊界條件或初始條件，可以將電磁場引進這區域$\mathbb {R}$。舉一個電磁波散射的例子，一個來自於散射區域之外的電磁波，遭遇到散射區域內的一個靶子，被這靶子散射出去。在這散射過程裏，由於電磁波與靶子之間相互作用，散射的電磁波含有很多與這靶子性質相關的資料。經過仔細地分析，將這些資料萃取出來，就可以更詳細地了解這靶子的性質。

對於某些案例，譬如波導或空腔共振器（resonator），因為像金屬牆壁一類的隔離設施，解答區域大部份孤立於外部世界。在金屬牆壁位置的邊界條件決定了解答區域的電磁場。在解答區域以外的外部世界，只能靠著邊界條件來影響內部的狀況。對於另外一些案例，像光導纖維或薄膜，解答區域時常會被分割為幾個亞區域，每個亞區域都有其簡單獨自的性質。通過亞區域與亞區域之間界面的邊界條件，可以將每一個亞區域的解答連結起來。

應用邊界條件，有時也可以簡化問題，使得問題更容易被了解。例如，均勻物體的電極化可以被更換為在這物體外表的一層面電荷分佈，或者，均勻物體的磁化被更換為在這物體外表的一層面電流分佈。</ref>詳盡細節，請參閱束縛電荷和束縛電流段落。

以下列出一些重要的邊界條件：斯徒姆-劉維邊界條件（Sturm-Liouville boundary condition）、狄利克雷邊界條件、諾伊曼邊界條件、混合邊界條件（mixed boundary condition）、柯西邊界條件（Cauchy boundary condition）、索末菲輻射條件（Sommerfeld radiation condition）。在解析問題時，必須選擇適當的邊界條件，才可得到正確的答案。

高斯單位制

主条目：高斯單位制

厘米-克-秒單位制的三個基本單位是長度單位公分、質量單位克、時間單位秒。在經典力學裏，厘米-克-秒單位制的單位是一致的；但在電磁學裏，則出現了幾種變型。高斯單位制是其中一種變形。在高斯單位制裏，馬克士威方程組的形式為

$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{f}$。

在自由空間裏，假設不存在任何電荷和電流，則方程組簡化為

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$。

採用這單位制，電位移、電場和電極化強度的關係式為

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$，

B場、H場和磁化強度的關係式為

$\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$。

對於線性物質，電極化率 $\chi _{e}$和磁化率$\chi _{m}$分別定義為

$\mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \chi _{e}\mathbf {E}$、

$\mathbf {M} \ {\stackrel {def}{=}}\ \chi _{m}\mathbf {H}$。

電容率$\epsilon$和磁導率$\mu$分別為

$\epsilon =1+4\pi \chi _{e}$、

$\mu =1+4\pi \chi _{m}$。

所以，電位移和B場分別為

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$。

在自由空間裏，方程組變得相當簡單：

$\epsilon =\mu =1$、

$\mathbf {D} =\mathbf {E}$、

$\mathbf {B} =\mathbf {H}$。

根據勞侖茲力定律，一個以速度$\mathbf {v}$移動於電場和磁場的帶電粒子$q$，所感受到的勞侖茲力$\mathbf {F}$為

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)$。

這形式與先前國際單位制的形式稍微有點不同。特別注意，電位移、電場和電極化強度、B場、H場和磁化強度的單位相同。

關於怎樣正確地從一個單位制變換到另外一個單位制，請參閱高斯單位制。

進階表述

主条目：電磁場的數學表述

馬克士威方程組的協變形式

主条目：經典電磁學與狹義相對論和經典電磁理論的協變形式

馬克士威方程組與狹義相對論之間的關係密切。不只是因為馬克士威方程組對於狹義相對論的初始發展，做了相當大的貢獻，也因為狹義相對論激盪出一種更簡潔的表述，能以協變張量來表達馬克士威方程組。

自由空間的馬克士威方程組的形式，對於任意慣性坐標系，都是一樣的。在狹義相對論裏，為了要更明確地表達出這論點，必須以四維向量和張量寫出協變形式的馬克士威方程組。這表述的一個構成要素為電磁張量。這張量是一個結合了電場和磁場在一起的二階反對稱協變張量$F_{\alpha \beta }$：

$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{E_{x}}/{c}&{E_{y}}/{c}&{E_{z}}/{c}\\{-E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{-E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{-E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)$ 。

使用閔考斯基度規$\eta$，

$\eta ^{\alpha \beta }=diag(1,-1,-1,-1)=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{matrix}}\right)$ ，

將下標拉高為上標，可以得到反變張量$F^{\mu \nu }$：

$F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\alpha \mu }\,\eta ^{\beta \nu }\,F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-{E_{x}}/{c}&-{E_{y}}/{c}&-{E_{z}}/{c}\\{E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$ 。

給予一個$n$階反對稱協變張量$F_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$，則其$m$階對偶張量（dual tensor）$G^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}},\quad m<n$是一個反對稱反變張量：

$G^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}={\frac {1}{n!}}\ \epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}\ i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\ F_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$；

其中，$\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}\ i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$是$m+n$維列維-奇維塔符號。

根據這定義，$F_{\alpha \beta }$的二階對偶張量$G^{\mu \nu }$是

$G^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{E_{z}}/{c}&-{E_{y}}/{c}\\B_{y}&-{E_{z}}/{c}&0&{E_{x}}/{c}\\B_{z}&{E_{y}}/{c}&-{E_{x}}/{c}&0\end{matrix}}\right)$ 。

換一種方法，將$F^{\alpha \beta }$的項目做以下替換：${\mathbf {E} }/{c}\to \mathbf {B}$、$\mathbf {B} \to -\ {\mathbf {E} }/{c}$，也可以得到二階對偶張量$G^{\mu \nu }$。

另外一個要素是四維電流密度$J^{\alpha }$：

$J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )$；

其中，$\rho$是電荷密度，$\mathbf {J}$是電流密度。

藉著這些要素，採用愛因斯坦求和約定，馬克士威方程組可以寫為

${\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }$、

${\frac {\partial G^{\beta \alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0$ ;

其中，${\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)$是四維梯度（Four-gradient）。

這兩個張量方程式等價於馬克士威方程組。第一個張量方程式表達兩個非齊次馬克士威方程式，高斯定律和馬克士威-安培定律。第二個張量方程式表達兩個齊次馬克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感應定律。

勢場表述

在高等经典力學裏，採用勢場表述，以電勢與磁向量勢來表達馬克士威方程組，有時候可能對解析問題很有助益。在量子力學裏，這是必需手段。電勢$\phi$與磁向量勢$\mathbf {A}$分別如此定義：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -\ {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$、

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。

從這兩個定義式，兩個齊次馬克士威方程式自動成立，另外兩個非齊次方程式變為

$\nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$、

$\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}$。

這兩個勢場方程式組合起來，具有與原本馬克士威方程組同樣的功能和完備性。由於電場和磁場各有三個分量，原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁向量勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。

許多不同的$\phi$與$\mathbf {A}$數值組可以得到同樣的電場與磁場。因此，這些數值組相互物理等價，可以自由選擇。這性質稱為規範自由。恰當的選擇可以簡化方程式的形式，或者，可以專門適用於某特別狀況。

協變形式

主条目：四維勢

採用勞侖次規範，勢場的兩個向量方程式可以約化為單獨一個具有勞侖茲不變性的四維向量方程式。四維電流密度乃是由電流密度$\mathbf {j}$和電荷密度$\rho$共同組成，以方程式定義為

$j^{\mu }=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)$。

四維勢乃是由磁向量勢和電勢共同組成，以方程式定義為

$A^{\mu }=\left(\varphi /c,\mathbf {A} \right)$。

二十世紀初，阿諾·索末菲提出了四維向量方程式，這是波恩哈德·黎曼先前想出的一個方程式的推廣，因此，知名為「黎曼-索莫菲方程式」，或馬克士威方程式的勢場表述的協變形式：

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}j^{\mu }$；

其中，$\Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$是達朗白算符，又稱為「四維拉普拉斯算符」。

彎曲時空

主条目：彎曲時空中的麦克斯韦方程组

物質和能量會造成時空彎曲。這是廣義相對論的主題。時空彎曲會影響電動力學的物理。一個電磁場所擁有的能量和動量也會造成時空彎曲。將平直時空的方程組中的偏導數，替換為協變導數，就可以得到彎曲時空中的馬克士威方程組。採用高斯單位制，馬克士威方程組表達為

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }={4\pi \over c}j^{\beta }$、

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$；

其中，${\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }$是表徵時空彎曲的克里斯托費爾符號。

參閱

• 馬克士威方程組的歷史
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 制動輻射
• 時域有限差分法
• 菲涅耳方程
• 移動中的磁鐵與導體問題

• 傑斐緬柯方程式
• 電磁場的數學表述
• 非齐次的电磁波方程
• 雙縫實驗中光子的動力學
• 光子偏振（Photon polarization）