24：修订间差异

24
	数表 — 整数 << 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 >>
命名
小寫	二十四
大寫	貳拾肆
序數詞	第二十四; twenty-fourth
識別
種類	整數
性質
質因數分解
表示方式
值	24
算筹
希腊数字	ΚΔ´
羅馬數字	XXIV
巴比伦数字	𒎙𒐘
二进制	11000
三进制	220(3)
四进制	120(4)
五进制	44(5)
八进制	30(8)
十二进制	20(12)
十六进制	18(16)
	查; 论; 编;

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2017年7月24日 (一) 00:15的版本

24是23与25之间的自然数，是一個合數，質因數有2和3。常見文化中有許多事物與24有關，例如一天有24小時、一年有24節氣。

数学性质

合数：其因數有：1，2，3，4，6，8，12，24。
高合成數：24共有8個因數，任何比24小的自然數之因數數量均少於8個，因此24是一個高合成數，是第6個擁有此性質的數字，前一個是12，下一個是36^[1] 。
過剩數：24不包含本身的因數和為36，因此24是一個過剩數，是第四個擁有這種性質的數字，其一個是20，下一個是30。
半完全數：24的因數中，前6個因數的和為本身，除了4和8以及本身之外的其他因數的和也是本身，因此24是一個半完全數，是第五個擁有此性質的數字，其一個是20，下一個是28^[2] 。
佩服數：24存在一個因數6，使得除了6和本身的因數相加後再扣掉6等於24本身，因此24是一個佩服數，是第三個有此性質的數。
相容數：24存在一個因數4使得其餘不含本身的因數之和減去4等於28，而28也存在一個因數2，使得其餘不含本身的因數之和減去2等於24，因此24和28是一對相容數，是第一組有此種性質的數對，下一對是(30, 40)。
每个因子减一（包括本身，不包括1，2）得到的数都是素数：24是第6個具有此性質的數字，也是具有这样的性质的最大的数，前一個是12。而其餘具有此性質的數字正好都是24的因數^[3]。
高過剩數：24的真因數和是36，真因數數列為 (24, 36, 55, 17, 1, 0)。由於24的真因數和也是過剩數因此24是一種高過剩數。24是第一個有此性質的數，下一個是30。
24是4的階乘，這代表了4個相異的物品任意排列共有24種不同的排列方法。例如序列 (1,2,3,4)，這24種可能的排列為： (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,3,4), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1)。
24的真因數和為36，其真因數和序列為(24, 36, 55, 17, 1, 0). 24是最小的真因數和也是過剩數的過剩數。
只有一個整數的真因數和是24，即529 = 23²。
φ(x) = 24 有10個解，分別為35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84 和 90。其數量比所有小於24的整數還多，因此24是一個高歐拉商數^[4]，前一個是12，下一個是48。
24是一個九邊形數^[5]，前一個是9，下一個是46。
24是一對孿生質數的和，該對孿生質數為(11, 13)。前一個是12，為(5, 7)的和；下一個是36，為(17, 19)的和。
24是一個哈沙德數^[6]，前一個是21，下一個是27。
24是一個半曲流數^[7]，前一個是10，下一個是66。
24是一個三波那契數（英语：Generalizations_of_Fibonacci_numbers#Tribonacci numbers）^[8]，前一個是13，下一個是44。
24是一個邪惡數，前一個是23，下一個是27。
任何連續4個整數的乘積都可以被24整除。因為其中會包含2個整數，其中一個偶數會是4的倍數，且至少會包含一個三的倍數。
24是炮彈問題唯一難以證明的一個解，即在容易證明的情況為1² = 1²中，1² + 2² + 3² + … + 24²是完全平方數（70²）。
魏爾斯特拉斯橢圓函數的模判別式Δ( $τ$ )是戴德金η函數的24次方： η( $τ$ ): Δ( $τ$ ) = (2 $π$ )¹²η(τ)²⁴.
24是唯一所有因數n在Z/nZ交换环中，其反元素皆為1的平方根的數。因此，乘法群(Z/24Z)^× = {±1, ±5, ±7, ±11}與加法群(Z/2Z)³是同構的。這是因為怪兽月光理论的緣故。
因此，任何與24互質的數字n，特別是任何大於3的質數n，都會具有n² – 1可以被24整除的性質。
- 例如：23與24互質，23² – 1 = 528 = 22 × 24。
24是第二個格朗維爾數（英语：Granville number），前一個是6，下一個是28。^[9]
24是可被不大於其平方根的所有自然數整除的最大整數^[10]，前一個有這種性質的數是12。
24是第6個威佐夫AB數，前一個是21，下一個是29^[11]^[12]。

幾何

24條邊的多邊形稱為二十四邊形
24個面的多面體稱為二十四面體
24個胞的多胞體稱為二十四胞體，特別地，在四維空間中，有一種正圖形是二十四胞體，即正二十四胞体，由24個正八面體組成，具有24個頂點，是個自身對偶的多胞體，且這種形狀不存在其他維度的類比。
超立方體有24個正方形面
24維空間中有24個正偶數單位網格（英语：unimodular lattices）稱為尼邁爾網格（英语：Niemeier lattice）。
24是四維空間的牛頓數（英语：Kissing number）：若將四維超球內切入這個正二十四胞體堆砌的每個超胞，則產生的結果將會是四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈^[13]。
24是K3曲面的尤拉示性数。

在科学中

鉻的原子序數。^[14]
二十四烷的碳原子數量。

在人类文化中

在中国传统纪年方式中，一年中有24个特殊的日子，称为24节气。
在大部分历法中，一天有24小時^[15]。
美国反恐与谍战电视剧《24》的标题名。

参考文献

^ Sloane's A002182 : Highly composite numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Sloane's A005835 : Pseudoperfect (or semiperfect) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Sloane's A018253 : Divisors of 24.. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31]. It appears that 3, 4, 6, 8, 12, 24 (the divisors >= 3 of 24) are also the only numbers n whose proper non-divisors k are prime numbers if k = d-1 and d divides n. - Omar E. Pol, Sep 23 2011
^ Sloane's A097942 : Highly totient numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Sloane's A001106 : 9-gonal (or enneagonal or nonagonal) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Sloane's A005349 : Niven (or Harshad) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Sloane's A000682 : Semimeanders. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].
^ Vinicius Facó, D Marques, Tribonacci Numbers and the Brocard-Ramanujan Equation, - Journal of Integer Sequences, Vol. 19, 2016, #16.4.4.
^ De Koninck J-M, Ivić A. On a Sum of Divisors Problem (PDF). Publications de l'Institut mathématique. 1996, 64 (78): 9–20 [2011-04-27].
^ Patrick Tauvel, "Exercices d'algèbre générale et d'arithmétique", Dunod, 2004, exercice 70 page 368.
^ J. Roberts, Lure of the Integers, Math. Assoc. America, 1992, p. 10.
^ N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995
^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.
^ Royal Society of Chemistry - Visual Element Periodic Table
^ A Walk Through Time. National Institute of Standards and Technology. [2014-05-02].

[1] Sloane's A002182 : Highly composite numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[2] Sloane's A005835 : Pseudoperfect (or semiperfect) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[3] Sloane's A018253 : Divisors of 24.. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31]. It appears that 3, 4, 6, 8, 12, 24 (the divisors >= 3 of 24) are also the only numbers n whose proper non-divisors k are prime numbers if k = d-1 and d divides n. - Omar E. Pol, Sep 23 2011

[4] Sloane's A097942 : Highly totient numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[5] Sloane's A001106 : 9-gonal (or enneagonal or nonagonal) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[6] Sloane's A005349 : Niven (or Harshad) numbers. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[7] Sloane's A000682 : Semimeanders. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2016-05-31].

[8] Vinicius Facó, D Marques, Tribonacci Numbers and the Brocard-Ramanujan Equation, - Journal of Integer Sequences, Vol. 19, 2016, #16.4.4.

[De_Koninck_(1998)-9] De Koninck J-M, Ivić A. On a Sum of Divisors Problem (PDF). Publications de l'Institut mathématique. 1996, 64 (78): 9–20 [2011-04-27].

[10] Patrick Tauvel, "Exercices d'algèbre générale et d'arithmétique", Dunod, 2004, exercice 70 page 368.

[11] J. Roberts, Lure of the Integers, Math. Assoc. America, 1992, p. 10.

[12] N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995

[Musin-13] O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.

[14] Royal Society of Chemistry - Visual Element Periodic Table

[nist-15] A Walk Through Time. National Institute of Standards and Technology. [2014-05-02].

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@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{noteTA
+ | G1=Math
+}}
 {{整数
 | list = {{Numbers digits}}
@@ 第9行： / 第12行： @@
 | 十六进制 = 18
 }}
-'''24'''是[[23]]与[[25]]之间的[[自然数]]。
+'''24'''是[[23]]与[[25]]之间的[[自然数]]，是一個[[合數]]，[[質因數]]有2和3。常見文化中有許多事物與24有關，例如一天有24[[小時]]、一年有24[[節氣]]。
 == 数学性质 ==
-* [[合数]]：其[[因數]]有：[[1]]，[[2]]，[[3]]，[[4]]，[[6]]，[[8]]，[[12]]，'''24'''。
+* [[合数]]：其[[因數]]有：[[1]]，[[2]]，[[3]]，[[4]]，[[6]]，[[8]]，[[12]]，24。
-** 24共有8個因數，任何比24小的自然數之因數數量均少於8個，因此24是一個高合成數，是第6個擁有此性質的數字，前一個是12，下一個是36<ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A002182|title=Sloane's A002182 : Highly composite numbers|last=|first=|date=|website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|publisher=OEIS Foundation|access-date=2016-05-31}}</ref> 。
+* [[高合成數]]：24共有8個因數，任何比24小的[[自然數]]之因數數量均少於8個，因此24是一個高合成數，是第6個擁有此性質的數字，前一個是12，下一個是36<ref>{{Cite web | url = https://oeis.org/A002182 | title = Sloane's A002182 : Highly composite numbers | website = The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | publisher = OEIS Foundation | accessdate = 2016-05-31}}</ref> 。
+* [[過剩數]]：24不包含本身的因數和為36，因此24是一個過剩數，是第四個擁有這種性質的數字，其一個是20，下一個是30。
-** 每个[[因子]]减一（包括本身，不包括1，2）得到的数都是[[素数]]：24是具有这样的性质的最大的数。
+* [[半完全數]]：24的因數中，前6個因數的和為本身，除了4和8以及本身之外的其他因數的和也是本身，因此24是一個半完全數，是第五個擁有此性質的數字，其一個是20，下一個是28<ref>{{Cite web | url = https://oeis.org/A005835 | title = Sloane's A005835 : Pseudoperfect (or semiperfect) numbers | website = The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | publisher = OEIS Foundation | accessdate = 2016-05-31}}</ref> 。
-** 第4個[[過剩數]]。
+* [[佩服數]]：24存在一個因數6，使得除了6和本身的因數相加後再扣掉6等於24本身，因此24是一個佩服數，是第三個有此性質的數。
-** 第3個[[佩服數]]。
+* [[相容數]]：24存在一個因數4使得其餘不含本身的因數之和減去4等於28，而28也存在一個因數2，使得其餘不含本身的因數之和減去2等於24，因此24和28是一對相容數，是第一組有此種性質的數對，下一對是(30, 40)。
-* 4的[[阶乘]]。
+* 每个[[因子]]减一（包括本身，不包括1，2）得到的数都是[[素数]]：24是第6個具有此性質的數字，也是具有这样的性质的最大的数，前一個是12。而其餘具有此性質的數字正好都是24的因數<ref>{{Cite web |url = https://oeis.org/A018253 | title = Sloane's A018253 : Divisors of 24. | website = The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | publisher = OEIS Foundation | quote=It appears that 3, 4, 6, 8, 12, 24 (the divisors >= 3 of 24) are also the only numbers n whose proper non-divisors k are prime numbers if k = d-1 and d divides n. - Omar E. Pol, Sep 23 2011| access-date = 2016-05-31}}</ref>。
+* 高過剩數：24的{{link-en|真因數和|Aliquot sum}}是36，真因數數列為 (24, 36, 55, 17, 1, 0)。由於24的真因數和也是過剩數因此24是一種高過剩數。24是第一個有此性質的數，下一個是30。
+* 24是4的[[階乘]]，這代表了4個相異的物品任意排列共有24種不同的排列方法。例如序列 (1,2,3,4)，這24種可能的排列為： (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,3,4), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1)。
+* 24的真因數和為36，其真因數和序列為(24, 36, 55, 17, 1, 0). 24是最小的真因數和也是過剩數的過剩數。
+* 只有一個整數的真因數和是24，即529 = 23<sup>2</sup>。
+* [[歐拉函數|φ(x)]] = 24 有10個解，分別為35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84 和 90。其數量比所有小於24的整數還多，因此24是一個[[高歐拉商數]]<ref>{{Cite web | url = https://oeis.org/A097942 | title = Sloane's A097942 : Highly totient numbers | website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|publisher=OEIS Foundation|access-date=2016-05-31}}</ref>，前一個是12，下一個是48。
+*24是一個[[九邊形數]]<ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A001106|title=Sloane's A001106 : 9-gonal (or enneagonal or nonagonal) numbers| website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|publisher=OEIS Foundation|access-date=2016-05-31}}</ref>，前一個是9，下一個是46。
+*24是一對[[孿生質數]]的和，該對孿生質數為(11, 13)。前一個是12，為(5, 7)的和；下一個是36，為(17, 19)的和。
+*24是一個[[哈沙德數]]<ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A005349|title=Sloane's A005349 : Niven (or Harshad) numbers|last=|first=|date=|website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|publisher=OEIS Foundation|access-date=2016-05-31}}</ref>，前一個是21，下一個是27。
+*24是一個半曲流數<ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/A000682|title=Sloane's A000682 :  Semimeanders|last=|first=|date=|website=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|publisher=OEIS Foundation|accessdate=2016-05-31}}</ref>，前一個是10，下一個是66。
+* 24是一個{{Link-en|廣義的斐波那契數#三波那契數|Generalizations_of_Fibonacci_numbers#Tribonacci numbers|三波那契數}}<ref>Vinicius Facó, D Marques, Tribonacci Numbers and the Brocard-Ramanujan Equation, - Journal of Integer Sequences, Vol. 19, 2016, #16.4.4.</ref>，前一個是13，下一個是44。
+* 24是一個{{Link-en|邪惡數|Evil number}}，前一個是23，下一個是27。
+*任何連續4個[[整數]]的[[乘積]]都可以被24[[整除]]。因為其中會包含2個整數，其中一個偶數會是4的倍數，且至少會包含一個三的倍數。
+* 24是炮彈問題唯一難以證明的一個解，即在容易證明的情況為1<sup>2</sup> = 1<sup>2</sup>中，1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> + … + 24<sup>2</sup>是完全[[平方數]]（70<sup>2</sup>）。
+* [[魏爾斯特拉斯橢圓函數]]的[[魏爾斯特拉斯橢圓函數#模判別式|模判別式]]Δ(''{{tau}}'')是[[戴德金η函數]]的24次方： η(''{{tau}}''):  &nbsp;Δ(''{{tau}}'') = (2{{pi}})<sup>12</sup>η(τ)<sup>24</sup>.
+* 24是唯一所有因數n在[[模算數|Z/nZ]][[交换环]]中，其反元素皆為1的平方根的數。因此，乘法群('''Z'''/24'''Z''')<sup>×</sup> = {±1, ±5, ±7, ±11}與加法群('''Z'''/2'''Z''')<sup>3</sup>是同構的。這是因為[[怪兽月光理论]]的緣故。
+*: 因此，任何與24互質的數字n，特別是任何大於3的質數n，都會具有''n''<sup>2</sup> – 1可以被24整除的性質。
+*:* 例如：23與24互質，23<sup>2</sup> – 1 = 528 = 22 × 24。
+* 24是第二個{{Link-en|格朗維爾數|Granville number}}，前一個是6，下一個是28。<ref name="De Koninck (1998)">{{cite journal|authors=De Koninck J-M, Ivić A|title=On a Sum of Divisors Problem|journal=Publications de l'Institut mathématique|year=1996|volume=64|issue=78|pages=9–20|url=http://www.emis.de/journals/PIMB/078/n078p009.pdf|accessdate=2011-04-27}}</ref>
+* 24是可被不大於其[[平方根]]的所有[[自然數]]整除的最大整數<ref>Patrick Tauvel, "Exercices d'algèbre générale et d'arithmétique", Dunod, 2004, exercice 70 page 368.</ref>，前一個有這種性質的數是12。
+* 24是第6個威佐夫AB數，前一個是21，下一個是29<ref>J. Roberts, Lure of the Integers, Math. Assoc. America, 1992, p. 10.</ref><ref>N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995</ref>。
+=== 幾何 ===
+* 24條邊的[[多邊形]]稱為[[二十四邊形]]
+* 24個面的[[多面體]]稱為[[二十四面體]]
+* 24個胞的多胞體稱為[[二十四胞體]]，特別地，在[[四維空間]]中，有一種正圖形是[[二十四胞體]]，即[[正二十四胞体]]，由24個[[正八面體]]組成，具有24個頂點，是個自身對偶的多胞體，且這種形狀不存在其他維度的類比。
+* [[超立方體]]有24個[[正方形]]面
+* 24維空間中有24個正[[偶數]]{{Link-en|單元網格|unimodular lattices|單位網格}}稱為{{Link-en|尼邁爾網格|Niemeier lattice}}。
+* 24是四維空間的{{link-en|牛頓數|Kissing number}}：若將四維超球內切入這個[[正二十四胞體堆砌]]的每個超胞，則產生的結果將會是[[四維空間]]中可能的正[[超球體]]填充中最緊密的一種排佈<ref name="Musin">{{cite journal | author = O. R. Musin | title = The problem of the twenty-five spheres | year = 2003 |journal=Russ. Math. Surv. |volume=58 |pages=794–795 | doi = 10.1070/RM2003v058n04ABEH000651}}</ref>。
+* 24是[[K3曲面]]的[[歐拉特徵數|尤拉示性数]]。
 == 在科学中 ==
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 == 在人类文化中 ==
 * 在中国传统纪年方式中，一年中有24个特殊的日子，称为[[节气|24节气]]。
-* 在大部分[[历法]]中，一天有24[[小時]]。
+* 在大部分[[历法]]中，一天有24[[小時]]<ref name="nist">{{cite web  |publisher=National Institute of Standards and Technology |title=A Walk Through Time |url=http://www.nist.gov/pml/general/time/early.cfm |accessdate=2014-05-02}}</ref>。
+* 美国反恐与谍战电视剧《[[24 (電視劇)|24]]》的标题名。
 == 参考文献 ==