超幾何函數

此條目的主題是高斯超幾何函數 ₂F₁。關於超幾何函數 _pF_q，請見「廣義超幾何函數」。

在數學中，高斯超幾何函數或普通超幾何函數2F1(a,b;c;z)是一個用超幾何級數定義的函數，很多特殊函數都是它的特例或極限。所有具有三個正則奇點的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函數表示。

超幾何級數

當$c$為正整數時，對於|z| < 1，超幾何函數可用如下冪級數定義

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}$

其中 $\ x^{(n)}$ 是遞進階乘，定義為:

$q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.$

當a或b是0或負整數時級數只有有限項，另有避免這種情況出現的正則超幾何函數。

對於滿足|z| ≥ 1 的複數z，超幾何函數可以通過將上述在單位圓內定義的函數沿着避開支點0和1的任意路徑做解析延拓來得到。具體的公式可以表示為

${\begin{aligned}&_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(a-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(b)_{k}(b-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}$

特殊情形

很多普通的數學函數可以用超幾何函數或它的極限表示出來，一些典型的例子如下：

$\ln(1+z)=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)$.

$(1-z)^{-a}=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)$

$\arcsin z=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)$

合流超幾何函數（Kummer函數）可以用超幾何函數的極限表示如下

$M(a,c,z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)$

因此，所有合流超幾何函數的特例，例如貝塞爾函數都可以表示成超幾何函數的極限。

勒讓德函數是有3個正則奇點的二階線性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超幾何函數表示，例如

${}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)$

很多多項式，例如賈可比多項式 P(α,β)
n及其特殊情形勒讓德多項式, 車比雪夫多項式, Gegenbauer多項式都能用超幾何函數表示

${}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)$ 其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式, Meixner多項式, Meixner–Pollaczek多項式。

橢圓模函數有時能表示成參數a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超幾何函數之比的反函數。例如，若

$\tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}$

則

$z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}$

是τ的橢圓模函數.

不完整的beta函數 B_x(p,q) 表示成

$B_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)$

完整的橢圓積分 K 和 E 如下給出

$K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

$E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

超幾何方程

超幾何函數滿足的微分方程稱為超幾何方程，其形式為（參見廣義超幾何函數)

$z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$.

展開後，得

$z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0.$

它有三個正則奇點：0, 1, ∞.

正則奇點 0 附近的解

超幾何方程的指標方程為

$\rho (\rho -1)+c\rho =0$

它的兩個指標 ρ 是 0 和 1-c。

當 c不是整數時，超幾何方程在 0 附近的兩個線性無關的正則特解為：

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

當 c 為 1 時，方程只有一個正則解。當 c 為其餘整數時，另一個線性無關的正則特解涉及對數項。

事實上，當 c 為整數時，另一個線性無關的特解總可以選取為 Meijer G-函數：

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}$

$\,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}$

正則奇點 1 附近的解

只需作代換 t=1-z，方程變為：

$t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.$

當 a+b-c 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為：

$\,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)$

正則奇點 ∞ 附近的解

當 a-b 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為：

$z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).$

李代數參數與連接關係

在討論超幾何方程的解的連接關係的時候，採用另外一套參數會更加方便。這組參數是根據方程在三個正則奇點處的指標之差來定義的。

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$

$\alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a$

$a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha$

參數 α,β,γ 稱為李代數參數。

運用李代數參數，超幾何方程在三個正則奇點處的正則解可以分別表示為：

${\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)$

${\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)$

${\text{At }}\infty :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})$

從上面的表達式可見，李代數參數比起通常用的參數 a,b,c 的優勢在於能夠體現不同區域的解之間的對稱性。

引入記號：

$G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)$

$\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)$

則超幾何方程在不同區域的解的連接關係可以表示為：

$\mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),$

${\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}$

$(-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),$

${\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}$

分別對比兩組式子最後一個等號之後的部分，可以看出每組的兩個式子之間的對稱性。

完整的連接關係表稱為 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

積分表示

$\mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi$

式中的 Β 是beta函數。

證明

可以證明等號右邊的表達式是超幾何方程的解。再考慮這個解在 z=0 附近的性質，可以確定它的具體形式。

設

$p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);$

則

${\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)$

${\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}$

上式中的第二、三個等號可以通過直接展開大括號內的多項式乘積得到。上式兩邊分別對 t 從 1 到無窮大進行積分，等號右邊為 0，於是我們證明了上面的積分表達式的確是超幾何方程的解。

另一方面，利用二項式定理，積分表達式等號右邊的部分可以按 z 展開成冪級數，故可知等號右邊應取 C ₂F₁(a,b,c;z) 的形式（因為另一個線性無關的特解無法展開成冪級數），其中 C 為待定的常數。

對比積分表達式在 z=0 處的值與 Β 函數的定義，即可確定常數 C。

變換公式

分式線性變換

Pfaff 變換

Pfaff 變換將正則奇點 1 和 ∞ 交換（也就是將李代數參數中的 β 與 μ 對換）：

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi$

由 a,b 的對稱性自然有：

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi$

證明

Pfaff 變換可以根據超幾何方程得到。事實上，令

$u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}$

則

$z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}$

${\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}$

取

$w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)$

由 w(u) 滿足的超幾何方程知等號右邊為 0，再考慮函數 (1-z)^-bw(z) 在 z=0 附近的性質即可得到 Pfaff 變換的公式。

Euler 變換

Pfaff 變換可以導出 Euler 變換，它將李代數參數 β 變成 -β：

${\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}$

Pfaff 變換和 Euler 變換都是分式線性變換的例子，這得名於等式兩邊的超幾何函數的宗量的聯繫，參見莫比烏斯變換。

將上面提到的四個連接關係與 Pfaff 變換及 Euler 變換組合起來，就得到完整的 Kummer 表。

給定一組李代數參數(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其輪換對應着 24 個不同但彼此關聯的超幾何函數（F_α,β,μ 恆等於 F_α,β,-μ），利用前面提到的四個連接關係和 Pfaff 變換，它們中的任意一個可以通過任意另外兩個表出。

例如 Euler 變換可以表示為：

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }$

二次變換

下面是一個二次變換的例子：

${}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi$

二次變換得名於等號兩邊超幾何函數宗量的聯繫（一個二次函數和一個莫比烏斯變換的組合）。

證明

仿照上面 Pfaff 變換的證明，有：

${\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}$

令

$c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})$

則

$1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}$

${\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}$

取

$w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)$

仿照上面關於 Pfaff 變換的討論，可得二次變換的公式。

其它例子

運用李代數參數，一般的二次變換可以表示為

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)$

其中 f(z),g(z) 是 z 的函數， P(z) 表示 z 要滿足的約束。

下表給出了一些二次變換。

李代數參數（左）	李代數參數（右）	$f(z)$	$g(z)$	$P(z)$
$\alpha ,\mu ,\mu$	${\tfrac {\alpha }{2}},\mu ,{\tfrac {1}{2}}$	$(1-{\tfrac {1}{2}}z)^{-b}$	$\left({\tfrac {z}{2-z}}\right)^{2}$	$|\arg(1-z)|<\pi$
$\mu ,\beta ,\mu$	$\mu ,{\tfrac {\beta }{2}},{\tfrac {1}{2}}$	$(1+z)^{-b}$	${\tfrac {4z}{(1+z)^{2}}}$	$|z|<1$
$\alpha ,\alpha ,\mu$	$\alpha ,{\tfrac {\mu }{2}},{\tfrac {1}{2}}$	$(1-2z)^{-b}$	${\tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}}$	$\Re z<{\tfrac {1}{2}}$

另外還有：

${\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi$

將它們與 Kummer 表組合起來，就得到所有的含有兩個獨立參變量的二次變換關係式。例如上面的例子可以通過組合第一行中的變換與 Pfaff 變換得到。

另外還有一些只含有一個獨立參變量的二次變換關係式。

三次及高次變換

若一組李代數參數滿足下列條件：有兩個是 ±1/3，或者三個參數的絕對值相等，則有一個三次變換的公式將它與另一個超幾何函數聯繫起來。

另外有一些 4 次和 6 次變換的公式。其它次數的變換公式只有當參數取特定有理數值時存在。參見Goursat (1881)。

特殊值

z=0

${}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1$

z=1

${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$

這稱為高斯原理（Gauss's theorem），可以由超幾何函數的積分表示得到。范德蒙恆等式是它的特殊情形。

z=-1

${}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}$

這可以通過組合上表中的第二個二次變換和 Pfaff 變換，並利用 z=1 時的特殊值得到。

z=1/2

$_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.$

$_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.$

上面兩式分別被稱為高斯第二求和原理與 Balley 原理。它們都可以通過組合第三個二次變換和 Pfaff 變換，並利用 z=1 時的特殊值得到。

參考文獻

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• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
• 埃里克·韋斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld. 
• Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
• Goursat, Édouard. Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1881, 10: 3–142 [2008-10-16]. （原始內容存檔於2021-03-08） （法語）.