槓桿

槓桿
槓桿
	遵守槓桿原理，置放在槓桿上的兩個重物呈靜力平衡狀態。
分類	簡單機械

在力學裏，典型的槓桿是置放連結在一個支撐點上的硬棒，這硬棒可以繞着支撐點旋轉。當槓桿靜力平衡時，其施力乘以施力臂等於抗力乘以抗力臂，可以透過改變施力臂或抗力臂長度，使輸入力放大或縮小，有着相當實用的功能，古希臘人將槓桿歸類為簡單機械。^[1]

歷史

早在舊石器時代晚期，古人就知道使用槓桿的原理來製作投槍器。 ^[2] 考古學者認為，在古埃及4500多年前的金字塔時期，工人使用槓桿來移動、抬舉重量超過100英噸的方尖碑。^[3] 中國戰國時期，墨子在所著作的《墨子》一書中，提到應用槓桿的概念。^{[註 1]}^[4]^[5]

大約在西元前330年，亞里士多德在著作《機械問題》（《Mechanical Problems》）裏，對於槓桿有詳細的論述，並且基本而言使用虛功的現代概念推導出槓桿原理。^[6]西元前3世紀，古希臘科學家阿基米德在著作《論平面圖形的平衡》裏用幾何方法推導出槓桿原理，^[7]並且宣稱：「給我一個支點，我就可以撬動整個地球。」^{[註 2]}^[8]

概述

由於槓桿內部有一點為固定點，槓桿只能繞着這固定點做旋轉運動。相對於這一點，槓桿不能做平移運動。

槓桿內部的固定點稱為「支點」。
使槓桿旋轉的力 $F_{1}$ 叫做「施力」，是輸入力。
施力作用於槓桿的位置叫做「施力點」。
阻礙槓桿旋轉的力 $F_{2}$ 叫做「抗力」，是輸出力。
抗力作用於槓桿的位置叫做「抗力點」。
從支點到施力作用線的垂直距離 $D_{1}$ 叫做「施力臂」。
從支點到抗力作用線的垂直距離 $D_{2}$ 叫做「抗力臂」。

理想槓桿不會耗散或儲存能量，也就是說，支點與硬棒之間不會出現任何摩擦損耗，硬棒是一種剛體，不會被彎曲，發生形變。注意到硬棒不一定是直棒。彎曲的硬棒形成的槓桿稱為「曲槓桿」。對於理想槓桿案例，輸入槓桿的功率等於槓桿輸出的功率。輸出力與輸入力之間的比率，等於這兩個作用力分別與支點之間垂直距離的反比率，稱這相等式為「槓桿原理」，以方程式表達：

F_{2}:F_{1}=D_{1}:D_{2}

，

或者，

F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}

。

定義力矩 $M$ 為

M\ {\stackrel {def}{=}}\ FD

；

其中， $F$ 是作用力， $D$ 是作用力與支點之間的垂直距離。

則輸入力矩等於輸出力矩：

M_{1}=M_{2}

。

槓桿原理表明，當靜力平衡時，施力乘以施力臂等於抗力乘以抗力臂：

F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}

。

槓桿的分類

靠着比較施力臂、抗力臂的長度，可以將槓桿分為三類：

施力臂長於抗力臂的槓桿是「省力槓桿」，這可以省力。開瓶器、撬棍等均為省力槓桿。
抗力臂長於施力臂的是「費力槓桿」，這可以省時。大部分剪刀、鑷子、筷子、釣魚竿、火鉗、筆等均為費力槓桿。
施力臂和抗力臂長度相等的槓桿是「等臂槓桿」，蹺蹺板、天秤等均為等臂槓桿。

另外一種分類法式依照施力點、抗力點、支點在槓桿的相對位置來分類。^[9]

第一類槓桿

第一類槓桿的施力點、抗力點分別在支點的兩邊。例如，鐵撬、蹺蹺板、天平、尖嘴鉗。

第二類槓桿

第二類槓桿的施力點、支點分別在抗力點的兩邊。例如，獨輪車、胡桃夾子、開瓶器。這是一種省力槓桿，可以施加較小的力量來移動較重的物體，但是施力的位移較長.

第三類槓桿

第三類槓桿的抗力點、支點分別在施力點的兩邊。例如，鑷子、釘書機、掃把。這是一種費力槓桿，可以節省施力的位移。

槓桿原理

槓桿是可以繞着支點旋轉的硬棒。當外力作用於槓桿內部任意位置時，槓桿的響應是其操作機制；假若外力的作用點是支點，則槓桿不會出現任何響應。

假設槓桿不會耗散或儲存能量，則槓桿的輸入功率必等於輸出功率。當槓桿繞着支點呈勻角速度旋轉運動時，離支點越遠，則移動速度越快，離支點越近，則移動速度越慢，由於功率等於作用力乘以速度，離支點越遠，則作用力越小，離支點越近，則作用力越大。

機械利益是抗力與施力之間的比率，或輸出力與輸入力之間的比率。假設施力臂 $D_{1}$ 、抗力臂 $D_{2}$ 分別為施力點、抗力點與支點之間的距離，施力 $F_{1}$ 、抗力 $F_{2}$ 分別作用於施力點、抗力點。則機械利益 $MA$ 為

MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {D_{1}}{D_{2}}}

。

通常在學習槓桿的初級理論時，會聚焦於輸入力和輸出力由於虛位移而做的虛功。虛位移可以定義為物體的移動速度乘以虛時間。這樣定義導致計算的物理量是功率，而不是功。這種方法有一個實在優點：在研究機械工程學或機構學時，功率是主要計算的物理量。使用這種方法來對槓桿做靜力分析，就如同對於車子的傳動系統，或機械手臂做靜力分析，它們的機械利益的計算方式完全一樣。

複式槓桿

複式槓桿是一組耦合在一起的槓桿，前一個槓桿的抗力會緊接地成為後一個槓桿的施力。幾乎所有的磅秤都會應用到某種複式槓桿機制。其它常見例子包括指甲剪、鋼琴鍵盤。1743年，英國伯明翰發明家約翰·外艾特（英語：John Wyatt）在設計計重秤時，貢獻出複式槓桿的點子。他設計的計重秤一共使用了四個槓桿來傳輸負載。^[10]

參閱

註釋

^
負：衡木加重焉而不撓，極勝重也。右校交繩，無加焉而撓，極不勝重也。衡加重於其一旁必捶，權重相若也。相衡則本短標長，兩加焉重相若，則標必下，標得權也。
挈：有力也，引無力也。不正所挈之止於施也，繩制挈之也，若以錐刺之。挈，長重者下，短輕者上，上者愈得，下下者愈亡。繩直權重相若，則正矣。收，上者愈喪，下者愈得，上者權中盡，則遂。
——《墨子·經說下》第二六、二七條
^ 假設在與地心重力相同的均勻重力場做這表演，在一端為與地球質量相同的圓球，離支點距離1m，在另一端為70kg質量的實驗者，則實驗者與支點的距離為8.5×10²²m。這距離大約是仙女座星系與地球之間距離的3.6倍。

參考文獻

^ Moon, Francis; Moon, F. C., The machines of Leonardo da Vinci and Franz Reuleaux:kinematics of machines from the Renaissance to the 20th century illustrated, annotated, Springer: pp. 28, 2007, ISBN 9781402055980
^ Humphrey, John. Ancient technology illustrated. Greenwood Publishing Group. 2006: 17-18. ISBN 9780313327636.
^ Budge, E.A. Wallis. Cleopatra's Needles and Other Egyptian Obelisks. Kessinger Publishing. 2003: pp. 28. ISBN 9780766135246.
^ 吳毓江，墨子校注，北京：中華書局，1993年，第533頁
^ 墨子. 《經說下》. 中國哲學書電子化計劃. （原始內容存檔於2021-03-07）.
^ Cotterell, Brian; Kamminga, John, Mechanics of pre-industrial technology: an introduction to the mechanics of ancient and traditional material culture illustrated, reprint, Cambridge University Press: pp. 75–76, 1992, ISBN 9780521428712
^ Usher, Abbott. A history of mechanical inventions revised, illustrated. Courier Dover Publications. 1988: pp. 94. ISBN 9780486255934.
^ Mackay, Alan Lindsay. Archimedes ca 287–212 BC. A Dictionary of scientific quotations. London: Taylor and Francis. 1991: pp. 11. ISBN 9780750301060.
^ Davidovits, Paul, Physics in Biology and Medicine, Third edition, Academic Press: pp. 10, 2008, ISBN 978-0-12-369411-9
^ Ceccarelli, Marco. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions and Legacies. Dordrecht: Springer. 2007: 16 [2010-01-17]. ISBN 1402063652. Then in 1743 John Wyatt (1700–1766) introduced the idea of the compound lever, in which two or more levers work together to further reduce effort.

外部連結

中國古代機械工程網頁：槓桿（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。

[4] 
負：衡木加重焉而不撓，極勝重也。右校交繩，無加焉而撓，極不勝重也。衡加重於其一旁必捶，權重相若也。相衡則本短標長，兩加焉重相若，則標必下，標得權也。
挈：有力也，引無力也。不正所挈之止於施也，繩制挈之也，若以錐刺之。挈，長重者下，短輕者上，上者愈得，下下者愈亡。繩直權重相若，則正矣。收，上者愈喪，下者愈得，上者權中盡，則遂。
——《墨子·經說下》第二六、二七條

[9] 假設在與地心重力相同的均勻重力場做這表演，在一端為與地球質量相同的圓球，離支點距離1m，在另一端為70kg質量的實驗者，則實驗者與支點的距離為8.5×10²²m。這距離大約是仙女座星系與地球之間距離的3.6倍。

[1] Moon, Francis; Moon, F. C., The machines of Leonardo da Vinci and Franz Reuleaux:kinematics of machines from the Renaissance to the 20th century illustrated, annotated, Springer: pp. 28, 2007, ISBN 9781402055980

[2] Humphrey, John. Ancient technology illustrated. Greenwood Publishing Group. 2006: 17-18. ISBN 9780313327636.

[3] Budge, E.A. Wallis. Cleopatra's Needles and Other Egyptian Obelisks. Kessinger Publishing. 2003: pp. 28. ISBN 9780766135246.

[5] 吳毓江，墨子校注，北京：中華書局，1993年，第533頁

[6] 墨子. 《經說下》. 中國哲學書電子化計劃. （原始內容存檔於2021-03-07）.

[Cotterell-7] Cotterell, Brian; Kamminga, John, Mechanics of pre-industrial technology: an introduction to the mechanics of ancient and traditional material culture illustrated, reprint, Cambridge University Press: pp. 75–76, 1992, ISBN 9780521428712

[8] Usher, Abbott. A history of mechanical inventions revised, illustrated. Courier Dover Publications. 1988: pp. 94. ISBN 9780486255934.

[10] Mackay, Alan Lindsay. Archimedes ca 287–212 BC. A Dictionary of scientific quotations. London: Taylor and Francis. 1991: pp. 11. ISBN 9780750301060.

[11] Davidovits, Paul, Physics in Biology and Medicine, Third edition, Academic Press: pp. 10, 2008, ISBN 978-0-12-369411-9

[12] Ceccarelli, Marco. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions and Legacies. Dordrecht: Springer. 2007: 16 [2010-01-17]. ISBN 1402063652. Then in 1743 John Wyatt (1700–1766) introduced the idea of the compound lever, in which two or more levers work together to further reduce effort.

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[註 1]

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[6]

[7]

[註 2]

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[10]

閱論編經典力學
表述形式	向量力學分析力學（拉格朗日力學哈密頓力學）
基礎概念	空間時間速度加速度質量重力力矩參考系力力偶衝量動量剛體角動量慣性轉動慣量能量動能位能虛功作用量拉格朗日量哈密頓量功
重要理論	牛頓運動定律虎克定律牛頓萬有引力定律簡諧運動達朗貝爾原理歐拉方程式哈密頓原理拉格朗日方程式最小作用量原理
應用	簡單機械斜面槓桿滑輪螺旋楔子輪軸
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