Cuerpo de descomposición

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo $K$ , y un polinomio no constante $p(X)\in K[X]$ (con coeficientes en $K$ ) de grado $n>0$ , se define el cuerpo de descomposición de $p$ como un cuerpo $E_{p}$ que cumple:

Que el polinomio $p(X)$ descompone completamente en $E_{p}$ , es decir, que se puede expresar $p(X)$ como

p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})

, con

\alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.

Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a $K$ todas las raíces del polinomio $p(X)$ :

E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

.

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios $T\subseteq K[X]$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios $p(X)\in T\subseteq K[X]$ .

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo $K$ , el cuerpo de descomposición de $K$ es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios $K[X];$ es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en $K.$