Matriz definida positiva

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector $a$ como $a^{T}$, y el conjugado transpuesto, $a^{*}$. Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1.	Para todos los vectores no nulos $z\in \mathbb {C} ^{n}$ tenemos que ${\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0$. Nótese que $z^{*}Mz$ es siempre real.
2.	Todos los autovalores $\lambda _{i}$ de $M$ son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3.	La función $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {y}}^{*}M{\textbf {x}}$ define un producto interno $\mathbb {C} ^{n}$.
4.	Todos los menores principales de $M$ son positivos (Criterio de Sylvester). O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivos. la superior izquierda de M de dimensión 1x1 la superior izquierda de M de dimensión 2x2 la superior izquierda de M de dimensión 3x3 ... la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1) $M$ en sí misma
	Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos.

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza $\mathbb {C} ^{n}$ por $\mathbb {R} ^{n}$, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Propiedades

• Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.

• Si $M$ es una matriz definida positiva y $r>0$ es un número real, entonces $rM$ es definida positiva.

• Si $M$ y $N$ son matrices definidas positivas, entonces la suma $M+N$ también lo es. Además si

$MN=NM$, entonces $MN$ es también definida positiva.

• Toda matriz definida positiva $M$, tiene una única matriz raíz cuadrada $N$ tal que $N^{2}=M$.

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

La matriz hermitiana $M$ se dice:

• definida negativa si $x^{*}Mx<0\,$ para todos los vectores $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ó $\mathbb {C} ^{n}$) no nulos

• definida positiva si $x^{*}Mx>0\,$ para todos los vectores $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ó $\mathbb {C} ^{n}$) no nulos

• semidefinida positiva si $x^{*}Mx\geq 0$ para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ó $\mathbb {C} ^{n}$) no nulo.

• semidefinida negativa si $x^{*}Mx\leq 0$ para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ó $\mathbb {C} ^{n}$) no nulo.

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Caso no hermitiano

Una matriz real M puede tener la propiedad x^TMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$

es un ejemplo. En general, tendremos x^TMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + M^T) / 2 , es definida positiva.

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz definida positiva», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Weisstein, Eric W. «Positive Definite Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1052034