Demostración visual de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica. En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica , o MA-MG , aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.
La media aritmética de un conjunto de números reales
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}
La media geométrica de un conjunto de reales no negativos
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
+
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
x
1
x
2
⋯
x
n
n
.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}
Sea
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
+
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
n
.
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}
La igualdad se cumple si y sólo si
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle {x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}}
[ editar ] Para demostrar la desigualdad MA-MG , se desarrollará por una variante del método de inducción matemática , demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy ).
Sea
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
+
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:
(
x
1
−
x
2
)
2
≥
0
{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\geq 0}
x
1
2
−
2
x
1
x
2
+
x
2
2
≥
0
{\displaystyle x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 0}
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
x
2
2
≥
4
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}
(
x
1
+
x
2
)
2
≥
4
x
1
x
2
{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}\geq 4x_{1}x_{2}}
(
x
1
+
x
2
)
2
4
≥
x
1
x
2
{\displaystyle {\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}}{4}}\geq x_{1}x_{2}}
x
1
+
x
2
2
≥
x
1
x
2
2
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}}
Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
n
2
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
n
2
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
n
+
(
x
n
+
1
+
x
n
+
2
+
⋯
+
x
2
n
)
n
2
≥
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
n
(
x
n
+
1
+
x
n
+
2
+
⋯
+
x
2
n
)
n
2
{\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}}
Siguiendo la hipótesis,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}
Se sigue que,
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
n
+
(
x
n
+
1
+
x
n
+
2
+
⋯
+
x
2
n
)
n
2
≥
(
x
1
x
2
⋯
x
n
)
n
(
x
n
+
1
x
n
+
2
⋯
x
2
n
)
n
2
{\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}}
Siendo esto igual a,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
n
2
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
n
2
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}
Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.
Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,
Sean
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
∈
R
+
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}\in \mathbb {R} ^{+}}
x
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle x_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}
Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}}
(
n
−
1
)
x
1
+
(
n
−
1
)
x
2
+
⋯
+
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
(
n
−
1
)
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
n
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}
n
x
1
+
n
x
2
+
⋯
+
n
x
n
−
1
(
n
−
1
)
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
n
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
n
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
)
n
−
1
n
≥
(
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
)
1
n
{\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{n}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n}}}
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
)
n
−
1
1
≥
(
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
)
{\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})^{\frac {n-1}{1}}\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})}
Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
n
−
1
)
≥
(
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
)
1
n
−
1
{\displaystyle ({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}})\geq ({x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}})^{\frac {1}{n-1}}}
Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG .
x
1
+
x
2
⋯
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
n
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N} }
Q.E.D.
Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0 
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d915f1c8071e3c8942d81de27af95046e4ebaad)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef93c89e0de538cc0a557a6832bf287af496228a)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{x_{1}x_{2}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf3bc5d87757234d17c817427c85d6c37f2a886)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2n}}{2n}}\geq {\sqrt[{2n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2n}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/7275d02422918e0d9bfd9b803bbd91699a367f0a)
![{\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e3963922a4e948cee8b46788c6c78fef7d031e)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cee2a1a6788650ee814a8da59e2f78d4f63cd92)
![{\displaystyle {\frac {{\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}}+{\frac {(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{2n})}{n}}}{2}}\geq {\sqrt[{2}]{{\sqrt[{n}]{(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})}}{\sqrt[{n}]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb48d12559d738320eaf1169996f67841768a1)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/733eb6f265d17821c8276a321b87a81cbca01653)
![{\displaystyle {\frac {(n-1)x_{1}+(n-1)x_{2}+\cdots +(n-1)x_{n-1}+x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd95c97059290a4694dc21f6eeaa61e84f01bc3)
![{\displaystyle {\frac {nx_{1}+nx_{2}+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5e737c3d05dde9cdf498fa01c4ad5a3a2d7b17)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}}}{\sqrt[{n}]{\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n-1}}{n-1}}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8582d3914ca73252af7ab67623c63f4b0759348)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/292749e71be7554e2e49708e9bd0553f846280f3)
Datos: Q841170