Discusión:Axiomas de Zermelo-Fraenkel

el sistema axiomatico zfc es el equivalente al zfs (zermelo-fraenkel-skolem)???????

siendo asi, faltarian axiomas.

POR LO Q YO TENGO ENTENDIDO EL SIS ZFS PARA T DE CONJUNTO ES:

1.axioma de Extensión. dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismo elementos. $A=B\iff (x\in A\quad \iff x\in B)$

a todo conjunto y a toda condición corresponde un nuevo conjunto cuyos elementos son precisamente aquellos del conjunto para los cuales se cumple la condición. $\forall A\;conjunto,\forall S(x)\;condicion\;talque\;x\in A,\quad \exists W=\{x\in A:S(x)\}$

3.axioma del (a)paramiento. para dos conjuntos cualquiera, exxiste un conjunto al cual pertenecen ambos. $\forall A,\forall B\quad conjuntos,\quad \exists W\;:\;(A\in W\land B\in W)$

4.axioma de la Union. para toda coleccion de conjuntos existe un conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen cuando menos a uno de los conjuntos de la coleccion dada. $\forall \complement \;coleccion\;de\;conjuntos\quad \exists W\;:\;(x\in A\land A\in \complement \Longrightarrow x\in W)$

5.axioma de la Potencia. para cada conjunto existe una coleccion de conjuntos que contiene entre sus elementos a todos los subconjuntos del conjunto dado. $dado\;conjuntoX,\;\exists \complement \;coleccion\;de\;conjuntos\;:\;A\subset X\longrightarrow A\in \complement$

6.axioma del Infinito(ax. de Peano) existe un conjunto q contiene al 0 y al sucesor de cada uno de sus elementos. $\exists W\;:\;0\in W\land \;(\forall x\in W\Longrightarrow x^{+}\in W)$

7.axioma de Eleccion. el producto cartesiano de una familia no vacia de conjuntos no vacios es no vacio. $\forall \{A_{j}\}_{j\in J}\neq \phi ,\quad A_{j}\neq \phi ,\;\forall j\in J\;\Longrightarrow {\bigg \rangle }{\bigg \langle }{}_{j\in J}A_{j}\neq \phi$

8.axioma de Sustitucion o Reemplazo. si s(a,b) es una condicion o frase tal q para cada elemento a de un conjunto A se puede formar el conjunto {b:s(a,b)}, entonces exste una funcion F con dominio A tal q F(A)={b:s(a,b)} para cada a de A.

si F es una funcion cuyo dominio es un conjunto X, existe un conjunto formado por las imagenes de los elementos de X mediante F.

Creo k se de berian cambiar las siguientes formulas: (por las que yo coloco, espero que alguien entienda a que me refiero)

$\forall x,y,z\exists v\mid x\in v\wedge \phi (x,y)\wedge \phi (x,z)\rightarrow y=z$

entonces

$\exists w\mid \forall y\in w\ \leftrightarrow \ \exists x\in v\wedge \phi (x,y)$

• Axioma de infinitud. Existe un conjunto $x$ tal que $\emptyset \in x$ y tal que si $y\in x$, entonces $y\cup \{y\}\in x$. En símbolos,

$\exists x\mid \emptyset \in x\wedge \forall y\in x\rightarrow y\cup \{y\}\in x$.

• Axioma de regularidad. Para todo conjunto no vacío $x$ existe un conjunto $y\in x$ tal que $x\cap y=\emptyset$. Esto es, en términos formales,

$\forall x\neq \emptyset \ \rightarrow \ \exists y\in x\wedge \ \forall z\in y\rightarrow z\notin x$

Hay un error de símbolo

Dices que el conjunto $A\cap B$ existe, y es el conjunto $A\cup B=\ldots$. Cambia $\cup$ por $\cap$

en este parrafo se da a entender que Pìtagoras, Gauss y Kronecker rechazaron la propuesta de Cantor. sin embargo para cuando Cantor formulo su hipotesis, esos matematicos ya estaban muertos.

El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Pitágoras, Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado.

no se si es valido reformularlo diciendo que la hipotesis de Cantor contradecia ciertas teorias de esos autores.

Nacionalidad de Cantor

Aunque Cantor nació en San Petersburgo, la familia no era de origen ruso y además se trasladaron a Alemania siendo Cantor pequeño. ¿Sería más acertado decir que es alemán y no ruso?

--Jgomez53 (discusión) 09:53 28 dic 2009 (UTC)

Sobre axioma de elección y supuesta obviedad

Los párrafos

Ahora bien, puede parecernos raro que en una teoría que pretende sentar unas bases axiomáticas sencillas y lógicas encontremos un axioma que parece tan "poco natural" como el Lema de Zorn, en el sentido de que todos los demás axiomas parecen tan intuitivos que los damos por evidentes. Sin embargo el Lema de Zorn no parece nada intuitivo o evidente y por tanto es legítimo dudar de la veracidad de este axioma. ¡¡Craso error!! Lo que si se ha conseguido probar es que el Lema es equivalente a algo tan evidente como el:

y

Este axioma si que parece tan evidente que nuestra intuición lo daría por sentado sin dudar. Conociendo pues la equivalencia entre el Lema de Zorn y el Axioma de elección queda claro pues que la teoría de conjuntos de ZF se sustenta en unas bases solidas.

son totalmente no arbitrario, parcial y además faltan a la verdad. El Lema de Zorn, totalmente contra intuitivo, es equivalente al Axioma de la Elección que a primera vista es bastante evidente. Pero eso no basta para afirmar que el Lema de Zorn, y con esto el Axioma de la Elección, tiene su veracidad confirmada. El Teorema de la Buena Ordenación también es equivalente al Axioma de Elección (con esto, equivalente al Lema de Zorn), y es totalmente contra intuitivo, por lo tanto, la argumentación utlizada anteriormente es inútil y bastante estúpida, además de falsa. Textos eliminados. Tesla91 (discusión) 23:26 28 nov 2011 (UTC)

Teoremas de incompletitud de Gödel

En la seccion "Otras propiedades de ZFC" se dice al final: "Gödel en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo y consistente."

Soy estudiante de matemáticas y he estudiado la teoría de conjuntos y los teoremas de imcompletitud de Gödel. Lo que él probó en el primero de sus dos teoremas es efectivamente que "si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo" pero en el segundo teorema no demostró lo que viene en el artículo (que no puede ser consistente), sino que demostró que ZFC no puede demostrar su propia consistencia, por lo que considero que la última frase se debería cambiar por:

"Gödel en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo ni puede probar su propia consistencia."

Sobre los comentarios al Axioma de potencia

(por otra persona distinta a las anteriores):

Se dice aquí que el axioma de los pares es consecuencia del axioma de potencia, el esquema axiomático de unión y el de especificación. En realidad, eso está mal.

El autor del artículo hace la siguiente construcción: dados dos conjuntos x e y, empleando los axiomas de potencia y especificación construye {x} e {y} (lo cual es correcto), pero después construye el conjunto {x,y} definiéndolo como:

{x,y}={x}U{y}

El problema es que el axioma de la unión no define la unión de dos conjuntos (o un número finito de conjuntos) sino la unión de todos los conjuntos que tiene un conjunto. De hecho, para definir la unión de dos conjuntos aUb, necesitamos emplear el axioma de los pares y el conjunto de la unión, pues dados a,b, primero definimos {a,b} y después U{a,b}=aUb.

De ese modo, dice que se puede demostrar el axioma de los pares empleando la expresión {x}U{y}, sin darse cuenta de que dicha expresión emplea el axioma de los pares en su construcción.

— El comentario anterior sin firmar es obra de Jpmwiki (disc. • contribs • bloq). 19:59 30 mar 2023 (UTC)