Función localmente integrable

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal

Más formalmente, sea $\scriptstyle \Omega$ un conjunto abierto del espacio euclídeo $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ y sea $\scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C}$ una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

$\int _{B}|f|dx\,$

es finita para todo conjunto acotado $B\subset \Omega$ , con ${\overline {B}}\subseteq \Omega$ , entonces $f$ es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

$L_{loc}^{1}(\Omega )$

Propiedades

Teorema. Toda función $\scriptstyle f$ del espacio $L^{p}(\Omega )$ , $\scriptstyle 1\leq p\leq +\infty$ , donde $\Omega$ es un conjunto abierto de $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica $\scriptstyle \chi _{K}$ de un conjunto compacto $\scriptstyle K$ de $\Omega$ : entonces, para $\scriptstyle p\leq +\infty$

$\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}dx}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty$

donde

$q$ es un número positivo tal que $1/p+1/q=1$ para un p dado tal que $\scriptstyle 1\leq p\leq +\infty$
$\mu (K)$ es la medida de Lebesgue del conjunto compacto $K$

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

${\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty$

Y por tanto:

$f\in L_{loc}^{1}(\Omega )$

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

${\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty$