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Grafo de Reeb

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Gráfico de Reeb de la función altura en un toro.

Un gráfico de Reeb[1]​ (nombrado así en referencia a Georges Reeb por René Thom) es un objeto matemático que refleja la evolución del conjunto de nivel de una función de valor real en una variedad diferenciable.[2]​

De acuerdo con un concepto similar,[3]​ fue introducido por G.M. Adelson-Velskii y A.S. Kronrod para aplicarlo al análisis del problema treinta de Hilbert.[4]​ Propuestos por G. Reeb como herramienta en la teoría de Morse,[5]​ los gráficos de Reeb encontraron una amplia variedad de aplicaciones en geometría computacional y computación gráfica[6]​[7]​ y han sido profusamente utilizados en el diseño asistido por computadora, en la topología basada en la identificación de formas[8]​[9]​[10]​ topological data analysis,[11]​ en la simplificación y limpieza topológica, en la segmentación y parametrización de superficies, en el cálculo eficiente de conjuntos de niveles y en termodinámica.[3]​

En el caso especial de las funciones de contorno en el plano, el gráfico de Reeb forma un poliárbol y también se denomina árbol de contorno.[12]​

Definición formal

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Dado un espacio topológico X y un función continua f :  X  →  'R' , defina un relación de equivalencia ~ en X donde p~q siempre que p y q pertenezcan al mismo connected component de un solo conjunto de nivel f-1 ( c ) para alguna 'c' real '. El 'gráfico Reeb' es el quotient space X  / ~ dotado de la topología del cociente.

Descripción para las funciones de Morse

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Si f es un función de Morse con distintos valores críticos, el gráfico de Reeb se puede describir más explícitamente. Sus nodos, o vértices, corresponden a los conjuntos de niveles críticos f-1(c). El patrón en el que los arcos o bordes se encuentran en los nodos/vértices reflejan el cambio en la topología del conjunto de niveles f-1(t) a medida que t pasa por el valor crítico c. Por ejemplo, si c es un mínimo o un máximo de f, se crea o destruye un componente; en consecuencia, un arco se origina o termina en el nodo correspondiente, que tiene grado 1. Si c es un punto de silla de índice 1 y dos componentes de f-1(t) se fusionan en t = c, como t aumenta, el vértice correspondiente del gráfico de Reeb tiene grado 3 y se parece a la letra "Y"; el mismo razonamiento se aplica si el índice de c es débil X-1 y un componente de f-1 (c) se divide en dos.

Referencias

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  1. ↑ Y. Shinagawa, T.L. Kunii, and Y.L. Kergosien, 1991. Surface coding based on Morse theory. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(5), pp.66-78
  2. ↑ Harish Doraiswamy, Vijay Natarajan, Efficient algorithms for computing Reeb graphs, Computational Geometry 42 (2009) 606–616
  3. ↑ a b A.N. Gorban, Thermodynamic Tree: The Space of Admissible Paths, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems 12(1) (2013), 246-278.
  4. ↑ G. M. Adelson-Velskii, A. S. Kronrod, About level sets of continuous functions with partial derivatives, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 49 (4) (1945), pp. 239–241.
  5. ↑ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique, C. R. Acad. Sci. Paris 222 (1946) 847–849
  6. ↑ Y. Shinagawa, T.L. Kunii, and Y.L. Kergosien, 1991. Surface coding based on Morse theory. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(5), pp.66-78
  7. ↑ Y. Shinagawa and T.L. Kunii, 1991. Constructing a Reeb graph automatically from cross sections. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(6), pp.44-51.
  8. ↑ Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). «Robust On-line Computation of Reeb Graphs: Simplicity and Speed». ACM Transactions on graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2007) 26 (3): 58.1-58.9. 
  9. ↑ M. Hilaga, Y. Shinagawa, T. Kohmura and T.L. Kunii, 2001, August. Topology matching for fully automatic similarity estimation of 3D shapes. In Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (pp. 203-212). ACM.
  10. ↑ Tung, Tony; Schmitt, Francis (2005). «The Augmented Multiresolution Reeb Graph Approach for Content-Based Retrieval of 3D Shapes». International Journal of Shape Modeling (IJSM) 11 (1): 91-120. Archivado desde el original el 16 de septiembre de 2016. Consultado el 26 de mayo de 2018. 
  11. ↑ «the Topology ToolKit». 
  12. ↑ Carr, Hamish; Snoeyink, Jack; Axen, Ulrike (2000), «Computing contour trees in all dimensions», Proc. 11th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2000), pp. 918-926 ..
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