Grupo espacial

En matemáticas y física, un grupo espacial es el grupo simétrico de una configuración en el espacio, generalmente en tres dimensiones. En tres dimensiones, existen 219 tipos distintos, o bien 230 si se consideran distintas las copias quirales. Los grupos espaciales estudiados en más de 3 dimensiones se denominan Grupos de Bieberbach, (por Ludwig Bieberbach) y son grupos discretos compactos de isometrías de un espacio euclídeo orientado. En cristalografía, los grupos espaciales también se suelen denominar grupos de Fedorov o cristalográficos, y representan la descripción de la simetría del cristal. Una fuente bibliográfica representativa de los grupos espaciales tridimensionales es el International Tables for Crystallography (Hann (2002)).

Historia

Los grupos espaciales en 2 dimensiones son 17 grupos de simetría plana los cuales se conocen desde hace siglos aunque la prueba de que la lista estaba completa no se dio hasta 1891, después de que se hubieran considerado casos más complejos de grupos espaciales.

En 1879 Leonhard Sohncke enumeró los 65 grupos espaciales (en ocasiones llamados Grupos espaciales de Sohncke o Grupos espaciales quirales) cuyos elementos preservaban la orientación. Más detalladamente, listó 66 grupos, pero Yevgraf Stepánovich Fiódorov y Arthur Moritz Schönflies advirtieron que en realidad dos de ellos eran el mismo. Los grupos espaciales en 3 dimensiones fueron enumerados por primera vez por Fiódorov (1891) (cuya lista tenía dos omisiones (I43d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después fueron enumerados de forma independiente por Schönflies (1891) (cuya lista tenía cuatro omisiones (I43d, Pc, Cc, ?) y una duplicación (P42₁m)). La lista correcta de los 230 grupos espaciales fue descubierta en 1892 durante la correspondencia entre Fiódorov y Schönflies. Más tarde William Barlow (1894) enumeró los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I42d, P42₁d, yP42₁c) incluso cuando ya tenía la lista correcta de los 230 grupos creada por Fiódorov y Schönflies.

Burckhardt (1967) describe en detalle la historia del descubrimiento de los grupos espaciales.

Elementos de un grupo espacial

Los grupos espaciales en tres dimensiones están formados por combinaciones de los 32 grupos de puntos cristalográficos con las 14 redes de Bravais, y cada una de estas pertenece a uno de los 7 sistemas de redes. Este resultado exprime que cada grupo espacial es una combinación de la simetría de traslación de una celda unitaria incluyendo el centro de redes, las operaciones de simetría del grupo de puntos de reflexión, rotación y/o rotación impropia (también llamada rotoreflexión), y el eje helicoidal y el plano de deslizamiento de operaciones simétricas. La combinación de todas estas operaciones de simetría dan lugar a un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las posibles simetrías cristalinas.

Elementos de fijación de un punto

Los elementos de los grupos espaciales que permiten fijar un punto del espacio son rotaciones, reflexiones, el elemento de identidad y la rotación impropia

Traslaciones

Las traslaciones forman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamado red de Bravais. Hay 14 posibles tipos de redes de Bravais. El cociente entre grupos espaciales y la red de Bravais da como resultado un grupo finito que será uno de los 32 posibles grupos puntuales. La traslación se define como el movimiento de un punto de un lado a otro de la cara.

Planos de deslizamiento

Un plano de deslizamiento es una reflexión en un plano, seguida por una traslación paralela con ese mismo plano. Se denota a, b,c, dependiendo del eje de deslizamiento sobre el que se produce. Existe también el deslizamiento n, que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de la diagonal de una cara; y el deslizamiento d, que es un deslizamiento a lo largo de un cuarto del camino de cualquier cara o espacio diagonal de una celda unitaria. Se conoce también como plano de deslizamiento del diamante al aparecer en la estructura del diamante.

Ejes helicoidales

Un eje helicoidal es una rotación sobre un eje, seguida de una traslación a lo largo de la dirección del eje. Se denotan con un número, n, que describe el grado de rotación ya que es el número de operaciones que se necesita aplicar para obtener una rotación total. El grado de traslación se añade como subíndice mostrando cuán lejos en el eje se produce la traslación, como una porción del vector de red paralelo. Por ejemplo, 2₁ es una rotación doble seguida de una traslación de ½ del vector de red.

Fórmula general

La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial es y = M • x + D donde M es la matriz, D es el vector, y las transformaciones elementales transforman el punto x en el punto y. En general, D = D(red) + D(M), donde D(M) es una función única de M que se hace cero cuando M es la identidad. Las matrices M forman un grupo puntual que es la base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo puntual.

La dimensión de la red puede ser menor que la dimensión total, dando lugar a un grupo espacial “subperiódico”. Para (dimensión total, dimensión de la red):

(1,1): grupo lineal unidimensional
(2,1): grupo lineal bidimensional: frisos
(2,2): grupo de simetría plana
(3,1): grupo lineal tridimensional; con los grupos puntuales cristalográficos en 3D
(3,2): grupo capa
(3,3): grupos espaciales (los discutidos en este artículo)

Tabla de grupos espaciales en 2 dimensiones (simetría plana)

Véase también: Grupo del papel pintado

Tabla de la simetría plana utilizando la clasificación de grupos espaciales tridimensionales:

Sistema cristalino (Red de Bravais)	Clasificación geométrica Grupo puntual				Clasificación aritmética	Grupos de simetría plana (diagrama de celda)
Sistema cristalino (Red de Bravais)	Schön.	Notación Orbifold	Cox.	Ord.	Clasificación aritmética	Grupos de simetría plana (diagrama de celda)
Oblicuo	C₁	(1)	[ ]⁺	1	Ninguna	p1 (1)
Oblicuo	C₂	(22)	[2]⁺	2	Ninguna	p2 (2222)
Rectangular	D₁	(*)	[ ]	2	Lineal	pm (**)	pg (××)
Rectangular	D₂	(*22)	[2]	4	Lineal	pmm (*2222)	pmg (22*)
Rectangular (Rombo)	D₁	(*)	[ ]	2	Intervalo	cm (*×)
Rectangular (Rombo)	D₂	(*22)	[2]	4	Intervalo	cmm (2*22)	pgg (22×)
Cuadrado	C₄	(44)	[4]⁺	4	Ninguna	p4 (442)
Cuadrado	D₄	(*44)	[4]	8	Ambas	p4m (*442)	p4g (4*2)
Hexagonal	C₃	(33)	[3]⁺	3	Ninguna	p3 (333)
	D₃	(*33)	[3]	6	Intervalo	p3m1 (*333)	p31m (3*3)
	C₆	(66)	[6]⁺	6	Ninguna	p6 (632)
	D₆	(*66)	[6]	12	Ambos	p6m (*632)

Para cada clasificación geométrica, las posibles clases aritméticas son:

Ninguna: no hay líneas de reflexión
Linear: las líneas de reflexión van a lo largo de las direcciones de la red
Intervalo: la mitad de las líneas de reflexión están comprendidas en las direcciones de red
Ambas: se dan las dos anteriores

Tabla de grupos espaciales en 3 dimensiones

#	Sistema cristalino red de Bravais	Grupo puntual					Grupos espaciales (Abreviatura internacional)
#	Sistema cristalino red de Bravais	Intl	Schön.	Notación Orbifold	Cox.	Ord.	Grupos espaciales (Abreviatura internacional)
1	Triclínico (2)	1	C₁	11	[ ]⁺	1	P1
2	Triclínico (2)	1	C_i	1×	[2⁺,2⁺]	2	P1
3–5	Monoclínico (13)	2	C₂	22	[2]⁺	2	P2, P2₁ C2
6–9		m	C_s	*11	[ ]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10–15		2/m	C_2h	2*	[2,2⁺]	4	P2/m, P2₁/m C2/m, P2/c, P2₁/c C2/c
16–24	Ortorrómbico (59)	222	D₂	222	[2,2]⁺	4	P222, P222₁, P2₁2₁2, P2₁2₁2₁, C222₁, C222, F222, I222, I2₁2₁2₁
25–46		mm²	C_2v	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2₁, Pcc2, Pma2, Pca2₁, Pnc2, Pmn2₁, Pba2, Pna2₁, Pnn2 Cmm2, Cmc2₁, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		mmm	D_2h	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma
75–80	Tetragonal (68)	4	C₄	44	[4]⁺	4	P4, P4₁, P4₂, P4₃, I4, I4₁
81–82		4	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4	P4, I4
83–88		4/m	C_4h	4*	[2,4⁺]	8	P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4₁/a
89–98		422	D₄	224	[2,4]⁺	8	P422, P42₁2, P4₁22, P4₁2₁2, P4₂22, P4₂2₁2, P4₃22, P4₃2₁2 I422, I4₁22
99–110		4mm	C_4v	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4₁md, I4₁cd
111–122		42m	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8	P42m, P42c, P42₁m, P42₁c, P4m², P4c2, P4b2, P4n2 I4m², I4c2, I42m, I42d
123–142		4/mmm	D_4h	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I4₁/amd, I4₁/acd
143–146	Trigonal (25)	3	C₃	33	[3]⁺	3	P3, P3₁, P3₂ R3
147–148		3	S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6	P3, R3
149–155		32	D₃	223	[2,3]⁺	6	P312, P321, P3₁12, P3₁21, P3₂12, P3₂21 R32
156–161		3m	C_3v	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3m	D_3h	2*3	[2⁺,6]	12	P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c
168–173	Hexagonal (27)	6	C₆	66	[6]⁺	6	P6, P6₁, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃
174		6	C_3h	3*	[2,3⁺]	6	P6
175–176		6/m	C_6h	6*	[2,6⁺]	12	P6/m, P6₃/m
177–182		622	D₆	226	[2,6]⁺	12	P622, P6₁22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22
183–186		6mm	C_6v	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc
187–190		6m²	D_3h	*223	[2,3]	12	P6m², P6c2, P62m, P62c
191–194		6/mmm	D_6h	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc
195–199	Cúbico (36)	23	T	332	[3,3]⁺	12	P23, F23, I23 P2₁3, I2₁3
200–206		m3	T_h	3*2	[3⁺,4]	24	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
207–214		432	O	432	[3,4]⁺	24	P432, P4₂32 F432, F4₁32 I432 P4₃32, P4₁32, I4₁32
215–220		43m	T_d	*332	[3,3]	24	P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d
221–230		m3m	O_h	*432	[3,4]	48	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d

Nota. Un plano e es un doble plano de deslizamiento, al tener deslizamientos en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, grupos espaciales cinco tetragonales y grupos espaciales cinco cúbicos, todos con su centro de red. El uso del símbolo e se hizo oficial con Hahn (2202).

Si el sistema cristalino no es trigonal entonces el sistema de red es del mismo tipo. Si es sistema cristalino sí es trigonal entonces el sistema de red es hexagonal a no ser que el grupo espacial sea uno de los 7 sistemas de red romboédricos consistentes en 7 grupos espaciales trigonales en la tabla superior cuyo nombre comienza con R. El sistema de red hexagonal es mayor que el sistema cristalino hexagonal, y consiste en sistemas cristalinos hexagonales con 18 grupos de sistemas cristalinos trigonales además de los siete cuyo nombre empieza por R.

La red de Bravais de un grupo espacial viene determinada por el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, la cual para los grupos no romboédricos es P, I, F o C que corresponden a principal, centrado en el cuerpo, centrado en la cara, o centrado en la cara C.

Enlaces externos

Los 17 grupos de simetría, página muy interesante sobre simetrías y teselados

Datos: Q899033
Multimedia: Space groups / Q899033