Teorema de Heine-Cantor

En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si $f:M\rightarrow N$ es una función continua entre dos espacios métricos y $M$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $M$.​

En particular, se tiene que toda función real continua definida en un intervalo cerrado y acotado $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ es uniformemente continua, pues $[a,b]$ es compacto.

Demostración

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y))<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),$

donde $d_{M}$, $d_{N}$ son las funciones distancia en los espacios métricos $M$ y $N$, respectivamente. Si ahora asumimos que $f$ es continua en el espacio métrico compacto $M$ pero no uniformemente continua, llegaremos a contradicción. La negación de la continuidad uniforme de $f$ queda así ($\wedge$ denota la conjunción lógica "y"):

$\exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).$

Fijando este $\varepsilon _{0}$, para todo $\delta$ positivo tenemos un par de puntos $x$ e $y$ en $M$ con las propiedades arriba descritas. Si elegimos $\delta =1/n$ para $n=1,2,3,...$ obtenemos dos sucesiones $\{x_{n}\},\{y_{n}\}$ tales que

$d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.$

Como $M$ es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes ($x_{n_{k}}$ a $x_{0}$ y $y_{n_{k}}$ a $y_{0}$). Se sigue que para todo $k\in \mathbb {N}$

$d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.$

Pero como $f$ es continua y $x_{n_{k}}$ e $y_{n_{k}}$ convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que $f$ no es uniformemente continua es absurda: entonces $f$ debe ser uniformemente continua en $M$ como afirma el teorema. $\quad \square$

Referencias

• Datos: Q765987