Usuario:Josefina muguruza/Taller

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Circunferencia inscrita redireccione aquí. Por circunferencia inscrita de polígonos que no sean triángulos, ver Cuadrilátero tangencial o Polígono tangencial.

Triangulo (negro) con circunferencia inscrita (azul), incentro (I), circunferencia exinscripta (naranja), excentros (J_A,J_B,J_C), interno angulo bisector (rojo) y angulo bisector exterior (verde)

En geometría, la circunferencia inscrita o circulo inscripto de un triangulo es el circulo mas grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro ​ del triángulo.

Un excirculo o circulo exinscripto​ del triangulo es un circulo exterior al triangulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados. Cada triángulo tiene tres excirculos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo.​

El centro de la cirtcunferencia inscrita, llamado incentro, puede ser encontrado en la interseccion de las tres bisectrices de los ángulos internos.​​ El centro de un excirculo es la interseccion de la bisectriz de un angulo interno (de vértice A, por ejemplo) y las bisectrices de los otros dos ángulos exteriores. El centro de ese excirculo se llama excentro relativo al vertice A, o excentro de A.​ Portque la bisectriz interior de un angulo es perpendicular a la buisectriz del angulo exterior it follows that el centro de la cirucunferencia inscripta junto con los centros de las tres circunferencias exinscriptas forman un sistema ortocéntrico.​

Los poligonos​ con mas de tres lados no todos tienen circunferencias inscriptas tangente a todos sus lados; éstos se llaman polígonos tangenciales. Ver también rectas tangentes a la circunferencia.

Relación con el área del triangulo

Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas estan estrechamente relacionados con el área del triangulo.​

Circunferencia inscrita

Supongamos que $\triangle ABC$ tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I. Sea a la longitud de BC, b la longitud de AC, y c la longitud de AB. Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y asi $\angle AC'I$ es correcto. Por tanto el radio C'I tiene una longitud de $\triangle IAB$. Por lo tanto $\triangle IAB$ tiene una base de medida c , una altura de medida r, y así el área es ${\tfrac {1}{2}}cr$. Del mismo modo, $\triangle IAC$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}br$ y $\triangle IBC$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}ar$ Dado que estos tres triangulos se descomponen $\triangle ABC$, vemos que :$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$      and      $r={\frac {\Delta }{s}},$

Donde $\Delta$ es el área de $\triangle ABC$ y $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ es su semi perímetro.

Para una formula alternativa, considera $\triangle IC'A$. Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a r y otro lado igual a $r\cot {\frac {\angle A}{2}}$. Lo mismo es cierto para $\triangle IB'A$. El triangulo grande se compone por 6 triángulos y el total del área es :$\Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}})$

Circunferencia exinscrita

Los radios en la circunferencia exinscrita son llamadosexradios.La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita $r_{c}$y su centro es $I_{c}$. Then $I_{c}G$ is an altitude of $\triangle ACI_{c}$, así $\triangle ACI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$. Por un argumento similar, $\triangle BCI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ y $\triangle ABI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$. Por tanto: $\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$. Así, por simetría, :$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$. Por Teorema del coseno, tenemos que: $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Combinando esto con la identidad $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$, tenemos que: $\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Pero $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$,y así: ${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

Esta es la Formula de Heron.

Combinando esto con $sr=\Delta$, tenemos que :$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Del mismo modo, $(s-a)r_{a}=\Delta$ da: $r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$ y :$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$​

A partir de estas formulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre mas grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita mas grande es la que es tangente al lado mas grande y la mas chica es la tangente al lado mas chico. Mas lejos, combinando estas formulas:​ :$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, con la igualdad solo para el Triangulo equilatero.​

Construcciones relacionadas

Circunferencia de los nueve puntos y el punto de Feuerbach

La circunferencia tangente a las tres circunferencias exinscritas como a la circunferencia inscrita es conocido como Circunferencia de los nueve puntos. El punto donde el círculo de nueve puntos toca la circunferencia inscrita es conocido como el Punto de Feuerbach.

Triángulo y punto Gergonne

triangulo, ΔABC, con circunferencia inscrita (azul),incentro (azul, I), triangulo de contacto (rojo, ΔT_aT_bT_c) y punto Gergonne (verde, Ge)

El Triangulo de Gergonne (de ABC) está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados. El punto de contacto opuesto al vértice A se nota T_A, etc.

Este Triangulo de Gergonne T_AT_BT_C también se conoce como triangulo de contacto o triangulo en contacto con ABC.

Los tres segmentos AT_A, BT_B y CT_C se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7). El punto de Gergonne se encuentra a la intemperie disco orthocentroidal perforado en su propio centro , y podría ser cualquier punto en él.​

Curiosamente, el punto Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto Gergonne ver.​

Coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo esta en contacto están dadas por

• ${\text{vertex}}\,A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Las coordenadas trilineales para el punto Gergonne están dadas por

$\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$, o, equivalentemente, por el Teorema del seno,

${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$.

Triangulo y punto de Nagel

El Triangulo de Nagel de ABC es notado por los vértices X_A, X_B y X_C que son los tres puntos donde la circunferenciqa exinscrita toca al triangulo de referencia ABC y donde X_A es el opuesto al vértice A, etc. Este triangulo X_AX_BX_C se conoce como el triangulo explicito de ABC. La circunferencia circunscrita del triángulo explicito X_AX_BX_C es llamada Circulo Mandart. Los tres segmentos AX_A, BX_B y CX_C se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos bisecan el perimetro del trángulo, y ellos se intersectan en un solo punto, el [[Nagel punto] del triángulo Na - X(8).

Las coordenadas trilinales por los vertices del triangulo ecplícito estan dadas por

• ${\text{vertex}}\,A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Las coordenadas trilinales por el punto Nagel pestan dadas por

$\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$,

o, equivalentemente a Teorema de seno,

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$.

Esto es el conjugado isotónico del punto de Gergonne.

Referencias

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