Просмотр кода страницы Список интегралов элементарных функций

[[Интеграл|Интегрирование]] — это одна из двух основных операций в [[математический анализ|математическом анализе]], но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества [[элементарные функции|элементарных функций]]. Из [[Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях|теоремы Лиувилля]] следует, например, что интеграл от <math>e^{x^2}</math> не является элементарной функцией. Таблицы известных [[первообразная|первообразных]] оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. 
На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье [[список интегралов]].

<math>C</math> использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

== Интегралы простых функций ==

=== [[Рациональная функция|Рациональные функции]] ===
{{main|Список интегралов от рациональных функций}}
:<math>~\int\!0\, dx = C</math>
:<math>~\int\!a\,dx = ax +C, a=const</math> 
:<math>~\int\!x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\,n \ne -1</math>
:<math>\int\!\frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>
:<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>

=== [[Логарифм]]ы ===
{{main|Список интегралов от логарифмических функций}}
:<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
:<math>\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>
:<math>\int {dx\over x}\, = \ln \left|x \right| + C</math>
:<math>\int {dx\over \sqrt{x}}\, = 2\sqrt{x} + C</math>

=== [[Экспонента|Экспоненциальные функции]] ===
{{main|Список интегралов от экспоненциальных функций}}
:<math>\int\!e^x\,dx = e^x + C</math>
:<math>\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>

=== [[Иррациональные функции]] ===
{{main|Список интегралов от иррациональных функций}}
:<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>
:<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>
:<math>\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arcsec}\,{|x| \over a} + C</math>
:<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2+a^2}}\right| + C</math>
:<math>\int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C</math>
:<math>\int\!{dx \over \sin^2 x} = - \operatorname{ctg}\,x + C</math>

=== [[Тригонометрические функции]] ===
{{main|список интегралов от тригонометрических функций|список интегралов от обратных тригонометрических функций}}
:<math>\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
:<math>\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
:<math>\int\!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
:<math>\int\!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
:<math>\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C</math>
:<math>\int\!\csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \operatorname{ctg}\,{x}\right|} + C</math>
:<math>\int\!\sec^2 x \, dx = \operatorname{tg}\,x + C</math>
:<math>\int\!\csc^2 x \, dx = -\operatorname{ctg}\,x + C</math>
:<math>\int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C</math>
:<math>\int\!\csc{x} \, \operatorname{ctg}\,{x} \, dx = - \csc{x} + C</math>
:<math>\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int\!\sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\sin^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int\!\cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\cos^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int\!\operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^2 \right)} + C</math>

=== [[Гиперболические функции]] ===
{{main|список интегралов от гиперболических функций}}
:<math>\int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C</math>
:<math>\int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C</math>
:<math>\int \operatorname{th}\,x \, dx = \ln |\operatorname{ch}\,x| + C</math>
:<math>\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th}\,{x \over2}\right| + C</math>
:<math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{sh}\,x) + C</math>
::также <math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C</math>
::также <math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C</math>
:<math>\int \operatorname{cth}\,x \, dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C</math>

{{Hider|
  title = Доказательства|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доказательство формулы <math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan(\operatorname{sh}\,x) + C</math> выполним проверкой:
: <math>\left(\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}\,x\right) + C)' =
\frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{sh}^2\,x + 1} =
\frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{ch}^2\,x - 1 + 1} =
\frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x</math>.

Доказательство формулы <math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\operatorname{arctg}(e^x) + C</math> выполним проверкой:
: <math>\left(2\operatorname{arctg}(e^x) + C\right)' =
\frac{2 e^x}{e^{2x} + 1} =
\frac{2}{e^x + e^{-x}} =
\frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x</math>.

Доказательство формулы <math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C</math> выполним проверкой:
: <math>\left(2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C\right)' =
\frac{\operatorname{sech}^2\frac{x}{2}}{\operatorname{th}^2\frac{x}{2} + 1} =
\frac{1}{\operatorname{sh}^2\frac{x}{2}+\operatorname{ch}^2\frac{x}{2}} =
\frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x</math>.
}}

== Литература ==
* Градштейн И. С. Рыжик И.М. ''Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений'' (4-е издание). М.: Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/handbooks.htm EqWorld]
* Двайт Г.Б. ''Таблицы интегралов'' (5-е издание). М.: Наука, 1977.

== Ссылки ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-integrals.htm Интегралы на EqWorld]
* [http://www.hot.ee/bl82/Таблица%20интегралов.pdf Расширенная таблица интегралов]
* [http://integrals.wolfram.com/index.jsp Онлайн калькулятор интегралов]


[[Категория:Списки интегралов]]

[[af:Lys van integrale]]
[[ar:جدول التكاملات]]
[[bs:Tabela integrala]]
[[de:Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]]
[[en:Table of integrals]]
[[eo:Malderivaĵo]]
[[fr:Table de primitives]]
[[id:Tabel integral]]
[[it:Tavola degli integrali più comuni]]
[[ko:적분표]]
[[nl:Lijst van integralen]]
[[pt:Tábua de integrais]]
[[ro:Tabel de integrale]]
[[sl:Tabela integralov]]
[[sr:Таблични интеграли]]
[[tr:İntegral tablosu]]
[[uk:Таблиця інтегралів]]