Просмотр кода страницы Асимптотический анализ

{{about|поведении функций при стремлении их аргументов к некоторым предельным значениям|асимптотах в [[геометрия|геометрии]]|Асимптота}}

'''Асимптотический анализ''' — метод описания [[Предел функции|предельного]] поведения функций.

Например, в функции <math>f(n)=n^2+3n</math> при стремлении <math>n</math> к бесконечности слагаемое <math>3n</math> становится пренебрежимо малым по сравнению с <math>n^2</math>, поэтому про функцию <math>f(n)</math> говорят, что она «асимптотически эквивалентна <math>n^2</math> при <math>n \to \infty</math>», что зачастую также записывают как <math>f(n) \sim n^2</math>. Примером важного асимптотического результата является [[теорема о распределении простых чисел]]. Пусть <math>\pi(x)</math> обозначает [[Функция распределения простых чисел|функцию распределения простых чисел]], то есть, <math>\pi(x)</math> равна количеству [[Простое число|простых чисел]], которые меньше либо равны <math>x</math>, тогда теорема может быть сформулирована как <math>\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}</math>.

== Асимптотическое равенство ==
{{Основная статья|Асимптотическое равенство}}
Пусть <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — некоторые функции. Тогда бинарное отношение <math>\sim</math> определяется таким образом, что

: <math>f(x) \sim g(x) \quad (\text{при } x\to\infty)</math>

[[Необходимое и достаточное условия|если и только если]]<ref>{{Harv|de&nbsp;Bruijn|1981|loc=§1.4}}</ref>

: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.</math>

Функции <math>f</math> и <math>g</math> при этом называются ''асимптотически эквивалентными'', так как <math>\sim</math> является [[Отношение эквивалентности|отношением эквивалентности]] для функций над <math>x</math>. [[Область определения функции|Областью определения]] <math>f</math> и <math>g</math> при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: [[Вещественное число|вещественные числа]], [[Комплексное число|комплексные числа]], [[Натуральное число|натуральные]] и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на <math>x</math>, таких как <math>x \to 0</math>. Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если <math>g(x)</math> принимает значение <math>0</math> бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах [[«O» большое и «o» малое|O-нотации]]:

: <math>f(x) - g(x) \in o(g(x)).</math>

Данное определение эквивалентно приведённому выше если <math>g(x)</math> отлично от нуля в некоторой [[Окрестность|окрестности]] предельной точки<ref>{{SpringerEOM|id=Asymptotic_equality|title=Asymptotic equality}}</ref><ref>{{Harvtxt|Estrada|Kanwal|2002|loc=§1.2}}</ref>.

=== Свойства ===
Если <math>f \sim g</math> и <math>a \sim b</math>, то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

* <math>f^r \sim g^r</math>, для любого вещественного <math>r</math>
* <math>\log(f) \sim \log(g)</math>
* <math>f\times a \sim g\times b</math>
* <math>f / a \sim g / b</math>

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

=== Примеры асимптотических формул ===
* [[Формула Стирлинга]] для [[факториал]]ов

:: <math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

* Количество способов [[Разбиение числа|разбить]] натуральное число <math>n</math> в неупорядоченную сумму натуральных чисел

:: <math>p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}</math>

* [[Функция Эйри]] <math>Ai(x)</math> — решение дифференциального уравнения <math>y''-xy=0</math>

:: <math>\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3} x^\frac{3}{2}}}{2\sqrt{\pi} x^{1/4}}</math>

* [[Функции Ганкеля]]

:: <math>\begin{align}
  H_\alpha^{(1)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{ i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)} \\
  H_\alpha^{(2)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)} 
\end{align}</math>

== Асимптотическое разложение ==
{{main|Асимптотическое разложение}}
[[Асимптотическое разложение|Асимптотическим разложением]] функции <math>f(x)</math> называют выражение функции в виде [[Ряд (математика)|ряда]], чьи [[частичные суммы]] могут не [[Сходящийся ряд|сходиться]], но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку <math>f</math>. Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста <math>f</math>. Другими словами, если <math>f=g_1 + g_2 + g_3 + \dots</math> — асимптотическое разложение <math>f</math>, то <math>f \sim g_1,</math> <math>f - g_1 \sim g_2</math> и, в общем случае, <math>f - g_1 - \cdots -  g_{k-1} \sim g_{k}</math> для любого <math>k</math>. В соответствии с определением <math>\sim</math> это значит, что <math>f - (g_1 + \cdots + g_k) = o(g_k)</math>, то есть, <math>f - (g_1 + \cdots + g_k)</math> растёт асимптотически значительно медленнее <math>g_k.</math>

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента <math>x</math> найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

=== Примеры асимптотических разложений ===
* [[Гамма-функция]]

:: <math>\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots
 \ (x \to \infty)</math>

* [[Интегральная экспонента]]

:: <math>xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \to \infty) </math>

* [[Функция ошибок]]

:: <math> \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{n!(2x^2)^n} \ (x \to \infty)</math>
: где {{math|(2''n''&thinsp;−&thinsp;1)!!}} — [[двойной факториал]].

== Применения ==
Асимптотический анализ используется:

* В [[Прикладная математика|прикладной математике]] для построения [[Численные методы|численных методов]] решения уравнений.
* В [[Математическая статистика|математической статистике]] и [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] для определения предельных свойств случайных величин и [[Статистическая оценка|статистических оценок]].
* В [[Информатика|информатике]] при [[Анализ алгоритмов|анализе алгоритмов]] и их [[Время работы алгоритма|времени работы]].
* В [[Статистическая физика|статистической физике]] при анализе поведения [[Физическая система|физических систем]].
* В [[Анализ катастроф|анализе катастроф]] при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], возникающих в [[Математическая модель|математическом моделировании]] явлений реального мира<ref name="Howison">Howison, S. (2005), ''[https://books.google.com/books?id=A2Hy_54Y1MsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22asymptotic%20analysis%22&f=false Practical Applied Mathematics] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=A2Hy_54Y1MsC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22asymptotic%20analysis%22&f=false |date=20210722105154 }}'', [[Cambridge University Press]]</ref>. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого [[Безразмерная величина|безразмерного параметра]], который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов ([[метод Лапласа]], [[метод перевала]]) или распределений вероятности ([[ряд Эджворта]]). Примером расходящегося асимптотического разложения являются [[Диаграммы Фейнмана|графы Фейнмана]] в [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]].

== См. также ==
* [[Асимптота]]
* [[Асимптотическая плотность]] (в теории чисел)
* [[«O» большое и «o» малое]]
* [[Асимптотически достоверное событие]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Федорюк, Михаил Васильевич|Федорюк М. В.]] | заглавие = Асимптотика: Интегралы и ряды | место = М. | серия = Справочная математическая библиотека | издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]] | год = 1987 | страниц = 544 | isbn = | 
ref  = Федорюк}}
* {{книга | автор = Олвер, Ф. | заглавие = Введение в асимптотические методы и специальные функции | место = М. | издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]] | год = 1978 | страниц = 386 | isbn = | ref  = Олвер}}
* {{citation|title=From Divergent Power Series To Analytic Functions|last=Balser|first=W.|year=1994|publisher=[[Springer-Verlag]]|url=https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation|first=N. G.|last=de Bruijn|authorlink=Nicolaas Govert de Bruijn|title=Asymptotic Methods in Analysis|year=1981|publisher=[[Dover Publications]]|url=https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover}}
* {{citation|first1=R.|last1=Estrada|first2=R. P.|last2=Kanwal|title=A Distributional Approach to Asymptotics|year=2002|publisher=[[Birkhäuser]]|url=https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation|last=Miller|first=P. D.|title=Applied Asymptotic Analysis|year=2006|publisher=[[American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation|last=Murray|first=J. D.|title=Asymptotic Analysis|year=1984|publisher=Springer|url=https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation|last1=Paris|first1=R. B.|last2=Kaminsky|first2=D.|year=2001|title=Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals|publisher=[[Cambridge University Press]]|url=https://www.researchgate.net/profile/Richard_Paris/publication/39064661_Asymptotics_and_Mellin-Barnes_Integrals/links/00b495295c15197336000000/Asymptotics-and-Mellin-Barnes-Integrals.pdf}}

== Ссылки ==
* [https://www.iospress.nl/journal/asymptotic-analysis/ ''Asymptotic Analysis'']  — home page of the journal, which is published by [[IOS Press]]
* [https://web.archive.org/web/20070422145944/http://swan.econ.ohio-state.edu/econ840/note4.pdf A paper on time series analysis using asymptotic distribution]

[[Категория:Математика]]