Асимптотический анализ
Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.
Например, в функции при стремлении к бесконечности слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с , поэтому про функцию говорят, что она «асимптотически эквивалентна при », что зачастую также записывают как . Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны , тогда теорема может быть сформулирована как .
Асимптотическое равенство
[править | править код]Пусть и — некоторые функции. Тогда бинарное отношение определяется таким образом, что
Функции и при этом называются асимптотически эквивалентными, так как является отношением эквивалентности для функций над . Областью определения и при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на , таких как . Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.
Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если принимает значение бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:
Данное определение эквивалентно приведённому выше если отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки[2][3].
Свойства
[править | править код]Если и , то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:
- , для любого вещественного
Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.
Примеры асимптотических формул
[править | править код]- Количество способов разбить натуральное число в неупорядоченную сумму натуральных чисел
- Функция Эйри — решение дифференциального уравнения
Асимптотическое разложение
[править | править код]Асимптотическим разложением функции называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку . Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста . Другими словами, если — асимптотическое разложение , то и, в общем случае, для любого . В соответствии с определением это значит, что , то есть, растёт асимптотически значительно медленнее
Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.
Примеры асимптотических разложений
[править | править код]- где (2n − 1)!! — двойной факториал.
Применения
[править | править код]Асимптотический анализ используется:
- В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений.
- В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок.
- В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы.
- В статистической физике при анализе поведения физических систем.
- В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.
Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.
Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.
См. также
[править | править код]- Асимптота
- Асимптотическая плотность (в теории чисел)
- «O» большое и «o» малое
- Асимптотически достоверное событие
Примечания
[править | править код]- ↑ (de Bruijn 1981, §1.4)
- ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- ↑ Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
- ↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Архивная копия от 22 июля 2021 на Wayback Machine, Cambridge University Press
Литература
[править | править код]- Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
- Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978. — 386 с.
- Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag
- de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications
- Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser
- Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society
- Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis, Springer
- Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (PDF), Cambridge University Press
Ссылки
[править | править код]- Asymptotic Analysis — home page of the journal, which is published by IOS Press
- A paper on time series analysis using asymptotic distribution