Просмотр кода страницы Первая и вторая теоремы Хелли

Между [[Функция распределения|функциями распределения]] <math>\left\{F_{\xi}\left(x\right)\right\}</math> и множеством их [[Характеристическая функция случайной величины|характеристических функций]] <math>\left\{f_{\xi}\left(t\right)\right\}</math> существует [[Биекция|взаимно однозначное соответствие]].

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только [[Биекция|взаимно однозначное]], но и [[Непрерывное отображение|взаимно непрерывное]].

== Первая и вторая теоремы Хелли ==

=== Первая теорема Хелли ===
Из всякой [[Числовая последовательность|последовательности]] [[Функция распределения|функций распределения]] <math>\left\{F_x \right\}</math> можно выбрать [[Сходимость по распределению|слабо сходящуюся подпоследовательность]].

=== Вторая теорема Хелли ===
Если <math>g\left(x\right)</math> — [[Непрерывная функция|непрерывная ограниченная функция]] на прямой и <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right), F\left(\infty\right)-F\left(-\infty\right)=1,</math> то
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>

== Доказательство первой теоремы Хелли ==
Пусть <math>D=\left\{x_k\right\}</math> — всюду [[Плотное множество|плотное]] на прямой [[счетное множество]].

Из [[Числовая последовательность|ограниченной последовательности]] <math>0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1</math> выбираем [[Числовая последовательность|сходящуюся подпоследовательность]] <math>F_{1n}\left(x_{1}\right)</math>, предел которой обозначим <math>F\left(x_{1}\right).</math>

Из [[Числовая последовательность|ограниченной последовательности]] <math>0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1</math> выбираем [[Числовая последовательность|сходящуюся подпоследовательность]] <math>F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)</math> и т. д.

Далее выбираем диагональную [[Числовая последовательность|подпоследовательность]] <math>f_{nn}\left(x\right)</math>, для которой <math>F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)</math> для любой точки <math>x_{k}\in D.</math>

По лемме отсюда вытекает <math>F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).</math>

=== Лемма ===
Если <math>F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)</math> на всюду [[Плотное множество|плотном]] на прямой множестве <math>D</math>, то <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).</math>

=== Замечание ===
<math>F\left(x\right)</math> может не быть [[Функция распределения|функцией распределения]]. Например, если <math>F_{n}\left(x\right)=0</math> при <math>x<n</math> и <math>F_{n}\left(x\right)=1</math> при <math>x\geq n, </math> то <math>F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.</math>

== Доказательство второй теоремы Хелли ==
Пусть <math>a<b</math> — точки непрерывности <math>F\left(x\right)</math>.Докажем сначала, что
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>.
Пусть <math>\varepsilon>0</math>. Разделим <math>\left[a,b\right]</math> точками непрерывности <math>a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b</math> функции <math>F\left(x\right)</math> на такие отрезки <math>\left[x_{k-1},x_{k}\right]</math>, что <math>\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|< \varepsilon</math> для точек <math>x\in\left[x_{k-1},x_{k}\right]</math>.

Это сделать можно, так как <math>g\left(x\right)</math> [[Равномерная непрерывность|равномерно непрерывна]] на <math>\left[a,b\right]</math>, а точки непрерывности <math>F\left(x\right)</math> расположены всюду плотно.

Определим [[Кусочно-заданная функция|ступенчатую функцию]].

: <math>g_{\varepsilon}\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)</math> на <math>x\in\left(x_{k-1},x_{k}\right]</math>.

Тогда

: <math>\left|\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\int_{a}^{b}\left|g\left(x \right )-g_{\varepsilon}\left(x \right )\right|dF_{n}\left(x \right )+\left|\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF_{n}-\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}dF\right|+\int_{a}^{b}\left| g\left(x\right) - g_{\varepsilon}\left(x \right ) \right|dF\left(x \right )\leq </math>
: <math>\leq2\varepsilon + \mathsf{M}\left[\sum_{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k} \right )-F\left(x_{k} \right )-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right )-F\left(x_{k-1} \right )\right)\right]\right].</math>

где <math>\mathsf{M}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.</math>.

При <math>n\rightarrow\infty</math> последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).</math>

Для доказательства
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math>

выберем <math>X>0</math> таким, чтобы <math>F\left(-X\right)<\frac{\varepsilon}{4}</math> и <math>1-F\left(X\right)<\frac{\varepsilon}{4}</math> и чтобы точки <math>\pm X</math> были точками непрерывности <math>F\left(x\right).</math>

Тогда, так как <math>F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)</math> можно выбрать <math>n_0</math> таким, что при <math>n\geq  n_0, F_{n}\left(-X\right)<\frac{\varepsilon}{2}</math> и <math>1-F_{n}\left(X\right)< \frac{\varepsilon}{2}.</math>

Оценим разность

: <math>\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq</math>
: <math>\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}.</math>

На основании <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)</math> заключаем, что правая часть
: <math>\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq</math>
: <math>\leq\left|\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int_{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\varepsilon+\frac{\mathsf{M}\varepsilon}{2}.</math>

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

== См. также ==
* [[Прямая и обратная предельная теорема]]

== Литература ==
* {{книга
 | автор      =   Севастьянов В.А
 | заглавие   =   Курс теории вероятностей и математической статистики
 | год        =   1982
 | страниц    =   254
}}

[[Категория:Теория вероятностей]]
[[Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики]]