Первая и вторая теоремы Хелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Между функциями распределения и множеством их характеристических функций существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Первая и вторая теоремы Хелли

[править | править код]

Первая теорема Хелли

[править | править код]

Из всякой последовательности функций распределения можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Вторая теорема Хелли

[править | править код]

Если  — непрерывная ограниченная функция на прямой и то

Доказательство первой теоремы Хелли

[править | править код]

Пусть  — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности выбираем сходящуюся подпоследовательность , предел которой обозначим

Из ограниченной последовательности выбираем сходящуюся подпоследовательность и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность , для которой для любой точки

По лемме отсюда вытекает

Если на всюду плотном на прямой множестве , то

может не быть функцией распределения. Например, если при и при то

Доказательство второй теоремы Хелли

[править | править код]

Пусть  — точки непрерывности .Докажем сначала, что

.

Пусть . Разделим точками непрерывности функции на такие отрезки , что для точек .

Это сделать можно, так как равномерно непрерывна на , а точки непрерывности расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

на .

Тогда

где .

При последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

Для доказательства

выберем таким, чтобы и и чтобы точки были точками непрерывности

Тогда, так как можно выбрать таким, что при и

Оценим разность

На основании заключаем, что правая часть

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

Литература

[править | править код]
  • Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.