Равномерная непрерывность
Равноме́рная непреры́вность — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения. В математическом анализе это понятие вводится для числовых функций, в функциональном анализе оно обобщается на произвольные метрические пространства.
Понятие непрерывности наглядно означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности ставит дополнительное условие: величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, должна зависеть только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, то есть должна быть пригодна на всей области определения функции.
Равномерная непрерывность числовых функций
[править | править код]Определение
[править | править код]Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если[1]:
где — кванторы всеобщности и существования соответственно, а — импликация.
Замечания
[править | править код]- Важно, что выбор зависит только от величины и пригоден для любых — это отличает равномерную непрерывность от обычной непрерывности.
- Приведённое определение легко обобщается на случай функций нескольких переменных[2].
Примеры
[править | править код]Функция
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как можно выбрать значение и отрезок длиной не больше такими, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на Связано это с неограниченностью функции в окрестности нуля.
Другой пример: функция
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
Всегда можно выбрать значение для любого отрезка сколь угодно малой длины — такое, что разница значений функции на концах отрезка будет больше В частности, на отрезке разница значений функции стремится к
Свойства
[править | править код]Из определения сразу следуют три свойства:
- Функция, равномерно непрерывная на множестве , непрерывна на нём.
- Функция, равномерно непрерывная на множестве, будет равномерно непрерывна и на любом его подмножестве.
- Функция, равномерно непрерывная на ограниченном промежутке, всегда ограничена на этом промежутке[3]. На бесконечном промежутке равномерно непрерывная функция может быть не ограничена (например, на промежутке ).
Некоторые признаки равномерной непрерывности функции
[править | править код]- Теорема о равномерной непрерывности (Кантора — Гейне): функция, непрерывная на замкнутом конечном промежутке (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на открытый, функция может не оказаться равномерно непрерывной.
- Сумма, разность и композиция равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны[4]. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Например[5], пусть Обе функции равномерно непрерывны при , но их произведение не является равномерно непрерывным на . Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно[3].
- Если функция определена и непрерывна на и существует конечный предел , то функция равномерно непрерывна на . Другими словами, функция, определённая на бесконечном полуинтервале, может быть не равномерно непрерывной только если её предел в бесконечности не существует или бесконечен[6].
- Ограниченная монотонная функция, непрерывная на интервале (или на всей числовой прямой), равномерно непрерывна на этом интервале[7].
- Функция, непрерывная на всей числовой прямой и периодичная, равномерно непрерывна на всей числовой прямой[8].
- Функция, имеющая на промежутке ограниченную производную, равномерно непрерывна на этом промежутке[9].
Равномерная непрерывность отображений метрических пространств
[править | править код]Определение
[править | править код]Пусть даны два метрических пространства и
Отображение называется равномерно непрерывным на подмножестве если[4]:
Свойства
[править | править код]- Функция, равномерно непрерывная на множестве , непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.
- Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.
- Сумма, разность и композиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывны[4].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Фихтенгольц, 1966, с. 178—180.
- ↑ Фихтенгольц, 1966, с. 370—372.
- ↑ 1 2 Бутузов и др., с. 11.
- ↑ 1 2 3 Математическая энциклопедия, 1984, с. 786.
- ↑ Шибинский, 2007, с. 528 (пункт 2.7).
- ↑ Бутузов и др., с. 6.
- ↑ Бутузов и др., с. 7.
- ↑ Бутузов и др., с. 10.
- ↑ Бутузов и др., с. 8.
Литература
[править | править код]- Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. Издание 2-е. М.: ФАЗИС 1997.
- Колмогоρов Α. Η., Φомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., М.,1981.
- Кудрявцев Л. Д. Равномерная непрерывность // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 786. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с.
- Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.
Ссылки
[править | править код]- Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т., Шапкина Н. Е. Равномерная непрерывность функций одной переменной. Пособие для студентов I курса физфака МГУ . Дата обращения: 3 мая 2019.