Теорема о равномерной непрерывности
Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Формулировка
[править | править код]Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда равномерно непрерывна на
Замечания
[править | править код]- В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
- В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
- непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.
Воспользуемся доказательством от противного.
Пусть — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте ), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое , что для всех существуют такие и , расстояние между которыми меньше , но расстояние между их образами не менее :
- но
Возьмём последовательность , сходящуюся к 0, например, . Построим последовательности и так, чтобы
- , но
— компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:
Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: . И, так как непрерывна , что противоречит предположению, что .
Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.
История
[править | править код]Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.[1] Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.[2] В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.
Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.[3]
Литература
[править | править код]- ↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365
- ↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.
- ↑ Rusnock, Paul, and Angus Kerr-Lawson. "Bolzano and uniform continuity." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.