Просмотр кода страницы Сумма трёх кубов

[[Файл:Sum_of_3_cubes.svg|мини|275x275пкс| Полулогарифмический график решений {{Nobr|1=''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup> = ''n''}} для целых чисел ''x'', ''y'' и ''z'' и ''n'' в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения]]
'''Сумма трёх кубов''' — в математике [[Открытые проблемы в теории чисел|открытая проблема]] о представимости [[Целое число|целого числа]] в виде суммы трёх [[Куб (алгебра)|кубов]] целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее [[диофантово уравнение]] записывается как <math>x^3 + y^3 + z^3 = n.</math> Необходимое условие для представимости числа <math>n</math> в виде суммы трёх кубов: <math>n</math> при делении на 9 не [[сравнимость по модулю|даёт остаток]] 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или [[Рациональное число|рациональных]] чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой [[Асимптотическая плотность|асимптотической плотностью]].

== История ==
Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для <math>n = 2</math> — в 1908 году А. С. Веребрюсов<ref name=w08/> (учитель математики [[Феодосийская мужская гимназия|Феодосийской мужской гимназии]], сын [[Веребрюсов, Степан Иванович|С. И. Веребрюсова]]), для <math>n = 1</math> — в 1936 году Малер{{R|bpty}}.

== Решения ==
[[Необходимое и достаточное условия|Необходимое условие]] для представимости числа <math>n</math> в виде суммы трёх кубов: <math>n</math> при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5{{R|d}}. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое <math>n</math>, не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов{{R|hb}}.

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придётся искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно{{R|hb}}.

Случай <math>n = 33</math>, представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре [[Алгоритмически неразрешимая задача|неразрешимых проблем]] [[Теория чисел|теории чисел]], из которых [[десятая проблема Гильберта]] является наиболее известным примером{{R|p}}.

=== Небольшие числа ===
Для <math>n = 0</math> существуют только тривиальные решения
: <math>a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0.</math>
Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной [[Эйлер, Леонард|Леонардом Эйлером]] [[Великая теорема Ферма|последней теореме Ферма]] для степени 3{{R|euler}}: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для <math>n = 1</math> и <math>n = 2</math> существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):
: <math>(9b^4)^3 + (3b - 9b^4)^3 + (1 - 9b^3)^3 = 1,</math>
: <math>(1 + 6c^3)^3 + (1 - 6c^3)^3 + (-6c^2)^3 = 2.</math>

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1{{R|ad}}. Для 2 другими известными представлениями являются{{R|ad|hlr}}
: <math>1\ 214\ 928^3 + 3\ 480\ 205^3 + (-3\ 528\ 875)^3 = 2,</math>
: <math>37\ 404\ 275\ 617^3 + (-25\ 282\ 289\ 375)^3 + (-33\ 071\ 554\ 596)^3 = 2,</math>
: <math>373\ 783\ 0626\ 090^3 + 1\ 490\ 220\ 318\ 001^3 + (-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^3 = 2.</math>

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов{{R|w08|m36}}.

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени{{R|m42}}. Даже в случае представлений <math>n = 3</math> [[Морделл, Луис Джоэл|Луи Дж. Морделл]] написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений
: <math>4^3 + 4^3 + (-5)^3 = 3,</math>
: <math>1^3 + 1^3 + 1^3 = 3,</math>
и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9{{R|m53|cassels}}. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine<ref>{{cite web |title = Mathematicians find a completely new way to write the number 3 |website = New Scientist |last = Lu |first = Donna |date = 2019-09-18 |url = https://www.newscientist.com/article/2216941-mathematicians-find-a-completely-new-way-to-write-the-number-3 |accessdate = 2019-10-11 |archive-date = 2019-09-30 |archive-url = https://web.archive.org/web/20190930211353/https://www.newscientist.com/article/2216941-mathematicians-find-a-completely-new-way-to-write-the-number-3/ |deadlink = no }}</ref>{{r|mma}}:
:<math>569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^3 + (-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^3 + (-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^3 = 3,</math>

=== Остальные числа ===
С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера{{R|mw|gls|hlr|cv|b}}{{R|kts|e|bpty|ej|h}}.

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588{{R|bpty}}. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966{{R|h}}.

Elsenhans и Jahnel в 2009 году{{R|ej}} использовали метод Элкиса{{R|e}}, применяющий [[Редуцирование решётки|редуцирование базиса решётки]] для поиска всех решений [[Диофантово уравнение|диофантова уравнения]] <math>x^3 + y^3 + z^3 = n</math> для положительных <math>n</math> не больше 1000 и для <math>\max\big(|x|, |y|, |z|\big) < 10^{14}</math>{{R|ej}},
затем Хёйсман в 2016 году{{R|h}} расширил поиск до <math>\max\big(|x|, |y|, |z|\big) < 10^{15}</math>.

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным <math>\min\big(|x|, |y|, |z|\big)</math>, а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795{{R|k|arb|arbr}}:
: <math>33 = 8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^3 + (-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^3 + (-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^3,</math>
: <math>795 = (-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3 + 14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3 + 2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3.</math>

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine{{R|lue}}:
: <math>42 = (-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^3 + 80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^3 + 12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^3.</math>

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 <ref>{{cite web |title=Andrew V. Sutherland personal webpage |url=http://math.mit.edu/~drew/ |accessdate=2019-09-20 |archive-date=2020-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201020001703/https://math.mit.edu/~drew/ |deadlink=no }}</ref>:
:<math>906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^3 + 72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^3 + 35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^3.</math>

А затем 165<ref>{{cite web |title=Andrew V. Sutherland personal webpage |url=http://math.mit.edu/~drew/ |accessdate=2019-09-30 |archive-date=2020-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201020001703/https://math.mit.edu/~drew/ |deadlink=no }}</ref>:
:<math>165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^3 + 383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^3 + 98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^3.</math>

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975{{r|lue}}.

Наименьший нерешённый случай — <math>n = 114</math>{{R|lue}}.

== Варианты ==
Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с [[Проблема Варинга|проблемой Варинга]]. В XIX веке [[Якоби, Карл Густав Якоб|Карл Густав Якоб Якоби]] и его коллеги составили таблицы решений этой задачи{{R|dickson}}. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную [[Асимптотическая плотность|асимптотическую плотность]]{{R|bb|dhl}}, хотя [[Вули, Тревор|Тревор Вули]] показал, что таким образом возможно представить <math>\Omega(n^{0{,}917})</math> чисел в интервале от <math>1</math> до <math>n</math>{{R|w1|w2|w3}}. Плотность не более <math>\Gamma(4/3)^3 / 6 \approx 0{,}119</math>{{R|d}}.

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов [[Рациональное число|рациональных чисел]]{{R|rich|dl}}.

== См. также ==
* [[Задача о четырёх кубах]]
* [[Проблема Варинга]]

== Примечания ==
{{Примечания|refs=
<ref name=ad>{{citation
 | last1 = Avagyan | first1 = Armen
 | last2 = Dallakyan | first2 = Gurgen
 | arxiv = 1802.06776
 | title = A new method in the problem of three cubes
 | year = 2018| doi = 10.13189/ujcmj.2017.050301
 | doi-broken-date = 2019-08-16
 }}</ref>

<ref name=arb>{{citation|url=https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf|first=Andrew R.|last=Booker|title=Cracking the problem with 33|publisher=University of Bristol|date=2019|arxiv=1903.04284|access-date=2019-09-08|archive-date=2021-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210214005344/https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf|url-status=dead}}</ref>

<ref name=arbr>{{citation
 | first = Andrew R.
 | last = Booker
 | contribution = Cracking the problem with 33
 | doi = 10.1007/s40993-019-0162-1
 | publisher = Springer
 | title = Research in Number Theory
 | volume = 5:26
 | year = 2019}}</ref>


<ref name=b>{{citation
 | last = Bremner | first = Andrew
 | contribution = On sums of three cubes
 | mr = 1353923
 | pages = 87–91
 | publisher = American Mathematical Society
 | location = Providence, Rhode Island
 | series = CMS Conference Proceedings
 | title = Number theory (Halifax, NS, 1994)
 | volume = 15
 | year = 1995}}</ref>

<ref name=bb>{{citation
 | last1 = Balog | first1 = Antal
 | last2 = Brüdern | first2 = Jörg
 | doi = 10.1515/crll.1995.466.45
 | journal = [[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
 | mr = 1353314
 | pages = 45–85
 | title = Sums of three cubes in three linked three-progressions
 | volume = 1995
 | issue = 466
 | year = 1995}}</ref>

<ref name=bpty>{{citation
 | last1 = Beck | first1 = Michael
 | last2 = Pine | first2 = Eric
 | last3 = Tarrant | first3 = Wayne
 | last4 = Yarbrough Jensen | first4 = Kim
 | doi = 10.1090/S0025-5718-07-01947-3
 | issue = 259
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 2299795
 | pages = 1683–1690
 | title = New integer representations as the sum of three cubes
 | volume = 76
 | year = 2007}}</ref>

<ref name=cassels>The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to [[J. W. S. Cassels]] by {{harvtxt|Mordell|1953}}, but its proof was not published until {{citation
 | last = Cassels | first = J. W. S. | authorlink = J. W. S. Cassels
 | doi = 10.2307/2007811
 | issue = 169
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 771049
 | pages = 265–266
 | title = A note on the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=3</math>
 | volume = 44
 | year = 1985| jstor = 2007811 }}.</ref>

<ref name=cv>{{citation
 | last1 = Conn | first1 = W.
 | last2 = Vaserstein | first2 = L. N. | author2-link = Leonid Vaseršteĭn
 | contribution = On sums of three integral cubes
 | doi = 10.1090/conm/166/01628
 | mr = 1284068
 | pages = 285–294
 | publisher = American Mathematical Society
 | location = Providence, Rhode Island
 | series = Contemporary Mathematics
 | title = The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992)
 | volume = 166
 | year = 1994}}</ref>

<ref name=d>{{citation
 | last = Davenport | first = H. | author-link = Дэвенпорт, Гарольд
 | doi = 10.1007/BF02547752
 | journal = [[Acta Mathematica]]
 | mr = 0000026
 | pages = 123–143
 | title = On Waring's problem for cubes
 | volume = 71
 | year = 1939}}</ref>

<ref name=dhl>{{citation
 | last1 = Deshouillers | first1 = Jean-Marc | author1-link = Jean-Marc Deshouillers
 | last2 = Hennecart | first2 = François
 | last3 = Landreau | first3 = Bernard
 | editor1-first = Florian | editor1-last = Hess
 | editor2-first = Sebastian |editor2-last = Pauli
 | editor3-first = Michael | editor3-last = Pohst
 | contribution = On the density of sums of three cubes
 | doi = 10.1007/11792086_11
 | mr = 2282921
 | pages = 141–155
 | publisher = Springer | location = Berlin
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | title = Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings
 | volume = 4076
 | year = 2006}}</ref>

<ref name=dl>{{citation
 | last1 = Davenport | first1 = H. | author1-link = Дэвенпорт, Гарольд
 | last2 = Landau | first2 = E. | author2-link = Ландау, Эдмунд Георг Герман
 | contribution = On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers
 | mr = 0262198
 | pages = 49–53
 | publisher = Plenum | location = New York
 | title = Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)
 | year = 1969}}</ref>

<ref name=dickson>{{citation
 | last = Dickson | first = Leonard Eugene | author-link = Leonard Eugene Dickson
 | page = 717
 | publisher = Carnegie Institution of Washington
 | title = History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis
 | url = https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716
 | year = 1920}}</ref>

<ref name=e>{{citation
 | last = Elkies | first = Noam D. | authorlink = Элкис, Ноам
 | contribution = Rational points near curves and small nonzero <math>|x^3-y^2|</math> via lattice reduction
 | doi = 10.1007/10722028_2
 | mr = 1850598
 | pages = 33–63
 | publisher = Springer, Berlin
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | title = Algorithmic number theory (Leiden, 2000)
 | volume = 1838
 | year = 2000| arxiv = math/0005139
 }}</ref>

<ref name=ej>{{citation
 | last1 = Elsenhans | first1 = Andreas-Stephan
 | last2 = Jahnel | first2 = Jörg
 | doi = 10.1090/S0025-5718-08-02168-6
 | issue = 266
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 2476583
 | pages = 1227–1230
 | title = New sums of three cubes
 | volume = 78
 | year = 2009}}</ref>

<ref name=euler>{{citation
 | last = Machis | first = Yu. Yu.
 | doi = 10.1134/S0001434607090088
 | issue = 3
 | journal = [[Mathematical Notes]]
 | mr = 2364600
 | pages = 352–356
 | title = On Euler's hypothetical proof
 | volume = 82
 | year = 2007}}</ref>

<ref name=gls>{{citation
 | last1 = Gardiner | first1 = V. L.
 | last2 = Lazarus | first2 = R. B.
 | last3 = Stein | first3 = P. R.
 | doi = 10.2307/2003763
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 0175843
 | pages = 408–413
 | title = Solutions of the diophantine equation <math>x^{3}+y^{3}=z^{3}-d</math>
 | volume = 18
 | issue = 87
 | year = 1964| jstor = 2003763
 }}</ref>

<ref name=hlr>{{citation
 | last1 = Heath-Brown
 | first1 = D. R.
 | author1-link = Roger Heath-Brown
 | last2 = Lioen
 | first2 = W. M.
 | last3 = te Riele
 | first3 = H. J. J.
 | author3-link = Herman te Riele
 | bibcode = 1993MaCom..61..235H
 | doi = 10.2307/2152950
 | issue = 203
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 1202610
 | pages = 235–244
 | title = On solving the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=k</math> on a vector computer
 | volume = 61
 | year = 1993
 | jstor = 2152950
 | url = https://ir.cwi.nl/pub/5502
 | access-date = 2019-09-08
 | archive-date = 2021-01-26
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210126065422/https://ir.cwi.nl/pub/5502
 | url-status = dead
 }}</ref>

<ref name=h>{{citation
 | last = Huisman | first = Sander G.
 | arxiv = 1604.07746
 | title = Newer sums of three cubes
 | year = 2016}}</ref>

<ref name=hb>{{citation
 | last = Heath-Brown | first = D. R. | authorlink = Roger Heath-Brown
 | doi = 10.2307/2153078
 | issue = 200
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 1146835
 | pages = 613–623
 | title = The density of zeros of forms for which weak approximation fails
 | volume = 59
 | year = 1992| jstor = 2153078 }}</ref>

<ref name=k>{{citation
 | last = Kalai
 | first = Gil
 | author-link = Gil Kalai
 | date = March 9, 2019
 | title = Combinatorics and more
 | url = https://gilkalai.wordpress.com/2019/03/09/8866128975287528%C2%B3-8778405442862239%C2%B3-2736111468807040%C2%B3/
 | access-date = 2019-09-08
 | archive-date = 2020-11-25
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201125230305/https://gilkalai.wordpress.com/2019/03/09/8866128975287528%C2%B3-8778405442862239%C2%B3-2736111468807040%C2%B3/
 | url-status = dead
 }}</ref>

<ref name=kts>{{citation
 | last1 = Koyama | first1 = Kenji
 | last2 = Tsuruoka | first2 = Yukio
 | last3 = Sekigawa | first3 = Hiroshi
 | doi = 10.1090/S0025-5718-97-00830-2
 | issue = 218
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 1401942
 | pages = 841–851
 | title = On searching for solutions of the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=n</math>
 | volume = 66
 | year = 1997}}</ref>

<ref name=lue>{{cite web|title=42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)<sup>3</sup> + 80435758145817515<sup>3</sup> + 12602123297335631<sup>3</sup>?'|work=The Aperiodical|first=Robin|last=Houston|date=2019-09-06|accessdate=2021-01-04|url=https://aperiodical.com/2019/09/42-is-the-answer-to-the-question-what-is-80538738812075974%C2%B3-80435758145817515%C2%B3-12602123297335631%C2%B3/|archive-date=2022-03-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20220315033800/https://aperiodical.com/2019/09/42-is-the-answer-to-the-question-what-is-80538738812075974%C2%B3-80435758145817515%C2%B3-12602123297335631%C2%B3/|deadlink=no}}</ref>

<ref name=m36>{{citation
 | last = Mahler | first = Kurt | authorlink = Kurt Mahler
 | doi = 10.1112/jlms/s1-11.2.136
 | issue = 2
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
 | mr = 1574761
 | pages = 136–138
 | title = Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood
 | volume = 11
 | year = 1936}}</ref>

<ref name=m42>{{citation
 | last = Mordell | first = L. J. | authorlink = Морделл, Луис Джоэл
 | doi = 10.1112/jlms/s1-17.3.139
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0007761
 | pages = 139–144
 | series = Second Series
 | title = On sums of three cubes
 | volume = 17
 | issue = 3 | year = 1942}}</ref>

<ref name=m53>{{citation
 | last = Mordell | first = L. J. | authorlink = Морделл, Луис Джоэл
 | doi = 10.1112/jlms/s1-28.4.500
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0056619
 | pages = 500–510
 | series = Second Series
 | title = On the integer solutions of the equation <math>x^2+y^2+z^2+2xyz=n</math>
 | volume = 28
 | year = 1953}}</ref>

<ref name=mw>{{citation
 | last1 = Miller | first1 = J. C. P. | author1-link = J. C. P. Miller
 | last2 = Woollett | first2 = M. F. C.
 | doi = 10.1112/jlms/s1-30.1.101
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0067916
 | pages = 101–110
 | series = Second Series
 | title = Solutions of the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=k</math>
 | volume = 30
 | year = 1955}}</ref>

<ref name=p>{{citation
 | last = Poonen
 | first = Bjorn
 | author-link = Bjorn Poonen
 | issue = 3
 | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
 | mr = 2382821
 | pages = 344–350
 | title = Undecidability in number theory
 | url = https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf
 | volume = 55
 | year = 2008
 | access-date = 2019-09-08
 | archive-date = 2021-03-06
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210306092529/https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf
 | url-status = dead
 }}</ref>

<ref name=rich>{{citation
 | last = Richmond | first = H. W. | authorlink = Herbert William Richmond
 | doi = 10.1112/plms/s2-21.1.401
 | journal = [[Proceedings of the London Mathematical Society]]
 | mr = 1575369
 | pages = 401–409
 | series = Second Series
 | title = On analogues of Waring's problem for rational numbers
 | volume = 21
 | year = 1923}}</ref>

<ref name=w08>{{citation
 | author = А. С. Веребрюсовъ
 | issue = 4
 | journal = [[Математический сборник]]
 | language = Russian
 | pages = 622–624
 | title = Объ уравненiи {{math|1=''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup> = 2''u''<sup>3</sup>}}
 | url = http://mi.mathnet.ru/msb6615
 | volume = 26
 | year = 1908
 | jfm = 39.0259.02}}</ref>

<ref name=w1>{{citation
 | last = Wooley | first = Trevor D. | authorlink = Вули, Тревор
 | doi = 10.1007/BF01231451
 | issue = 3
 | journal = [[Inventiones Mathematicae]]
 | mr = 1359599
 | pages = 421–451
 | title = Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour
 | volume = 122
 | year = 1995| hdl = 2027.42/46588 }}</ref>

<ref name=w2>{{citation
 | last = Wooley | first = Trevor D. | authorlink = Вули, Тревор
 | doi = 10.1112/S0025579300015710
 | issue = 1–2
 | journal = [[Mathematika]]
 | mr = 1924487
 | pages = 53–61 (2002)
 | title = Sums of three cubes
 | volume = 47
 | year = 2000}}</ref>

<ref name=w3>{{citation
 | last = Wooley | first = Trevor D. | authorlink = Вули, Тревор
 | doi = 10.4064/aa170-1-6
 | issue = 1
 | journal = [[Acta Arithmetica]]
 | mr = 3373831
 | pages = 73–100
 | title = Sums of three cubes, II
 | volume = 170
 | year = 2015}}</ref>
 
<ref name=mma>{{cite tweet
 | user = markmcan
 | number = 1173987832454623239
 | date = 2019-09-17
 | title=Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search}}</ref>
}}

== Ссылки ==
* [http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm Solutions of {{Math|1=''n'' = ''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup>}} for {{Math|0 ≤ ''n'' ≤ 99}}], Hisanori Mishima
* [http://cr.yp.to/threecubes.html threecubes], Daniel J. Bernstein
* [https://www.mathpages.com/home/kmath071.htm Sums of three cubes], Mathpages
* [https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM The Uncracked Problem with 33], Timothy Browning on Numberphile
* [https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0 42 is the new 33], Andrew Booker on Numberphile

[[Категория:Открытые математические проблемы]]
[[Категория:Диофантовы уравнения]]
[[Категория:Аддитивная теория чисел]]