Сумма трёх кубов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Полулогарифмический график решений x3 + y3 + z3 = n для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для  — в 1908 году А. С. Веребрюсов[1] (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для  — в 1936 году Малер[2].

Необходимое условие для представимости числа в виде суммы трёх кубов: при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5[3]. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое , не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов[4].

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придётся искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно[4].

Случай , представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером[5].

Небольшие числа

[править | править код]

Для существуют только тривиальные решения

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3[6]: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для и существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1[7]. Для 2 другими известными представлениями являются[7][8]

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов[1][9].

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени[10]. Даже в случае представлений Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9[11][12]. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine[13][14]:

Остальные числа

[править | править код]

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера[15][16][8][17][18][19][20][2][21][22].

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588[2]. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966[22].

Elsenhans и Jahnel в 2009 году[21] использовали метод Элкиса[20], применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения для положительных не больше 1000 и для [21], затем Хёйсман в 2016 году[22] расширил поиск до .

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным , а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795[23][24][25]:

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine[26]:

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 [27]:

А затем 165[28]:

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975[26].

Наименьший нерешённый случай — [26].

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи[29]. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность[30][31], хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить чисел в интервале от до [32][33][34]. Плотность не более [3].

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел[35][36].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 А. С. Веребрюсовъ (1908), "Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3", Математический сборник, 26 (4): 622—624, JFM 39.0259.02 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 15 (справка)
  2. 1 2 3 Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007), "New integer representations as the sum of three cubes", Mathematics of Computation, 76 (259): 1683—1690, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3, MR 2299795
  3. 1 2 Davenport, H. (1939), "On Waring's problem for cubes", Acta Mathematica, 71: 123—143, doi:10.1007/BF02547752, MR 0000026
  4. 1 2 Heath-Brown, D. R. (1992), "The density of zeros of forms for which weak approximation fails", Mathematics of Computation, 59 (200): 613—623, doi:10.2307/2153078, JSTOR 2153078, MR 1146835
  5. Poonen, Bjorn (2008), "Undecidability in number theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (3): 344—350, MR 2382821, Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
  6. Machis, Yu. Yu. (2007), "On Euler's hypothetical proof", Mathematical Notes, 82 (3): 352—356, doi:10.1134/S0001434607090088, MR 2364600
  7. 1 2 Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (inactive 2019-08-16){{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (DOI неактивен с августа 2019) (ссылка)
  8. 1 2 Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), "On solving the Diophantine equation on a vector computer", Mathematics of Computation, 61 (203): 235—244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610, Архивировано из оригинала 26 января 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
  9. Mahler, Kurt (1936), "Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood", Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136—138, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR 1574761
  10. Mordell, L. J. (1942), "On sums of three cubes", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17 (3): 139—144, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR 0007761
  11. Mordell, L. J. (1953), "On the integer solutions of the equation ", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500—510, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR 0056619
  12. The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), "A note on the Diophantine equation ", Mathematics of Computation, 44 (169): 265—266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, MR 0771049.
  13. Lu, Donna Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist (18 сентября 2019). Дата обращения: 11 октября 2019. Архивировано 30 сентября 2019 года.
  14. markmcan. Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search. [твит]. Твиттер (17 сентября 2019).
  15. Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955), "Solutions of the Diophantine equation ", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 30: 101—110, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR 0067916
  16. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), "Solutions of the diophantine equation ", Mathematics of Computation, 18 (87): 408—413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, MR 0175843
  17. Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994), "On sums of three integral cubes", The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics, vol. 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 285—294, doi:10.1090/conm/166/01628, MR 1284068
  18. Bremner, Andrew (1995), "On sums of three cubes", Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings, vol. 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 87—91, MR 1353923
  19. Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997), "On searching for solutions of the Diophantine equation ", Mathematics of Computation, 66 (218): 841—851, doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2, MR 1401942
  20. 1 2 Elkies, Noam D. (2000), "Rational points near curves and small nonzero via lattice reduction", Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science, vol. 1838, Springer, Berlin, pp. 33—63, arXiv:math/0005139, doi:10.1007/10722028_2, MR 1850598
  21. 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), "New sums of three cubes", Mathematics of Computation, 78 (266): 1227—1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6, MR 2476583
  22. 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746
  23. Kalai, Gil (March 9, 2019), Combinatorics and more, Архивировано из оригинала 25 ноября 2020, Дата обращения: 8 сентября 2019
  24. Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284, Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
  25. Booker, Andrew R. (2019), "Cracking the problem with 33", Research in Number Theory, vol. 5:26, Springer, doi:10.1007/s40993-019-0162-1
  26. 1 2 3 Houston, Robin 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?'. The Aperiodical (6 сентября 2019). Дата обращения: 4 января 2021. Архивировано 15 марта 2022 года.
  27. Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения: 20 сентября 2019. Архивировано 20 октября 2020 года.
  28. Andrew V. Sutherland personal webpage. Дата обращения: 30 сентября 2019. Архивировано 20 октября 2020 года.
  29. Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, p. 717
  30. Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995), "Sums of three cubes in three linked three-progressions", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45—85, doi:10.1515/crll.1995.466.45, MR 1353314
  31. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), "On the density of sums of three cubes", in Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (eds.), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4076, Berlin: Springer, pp. 141—155, doi:10.1007/11792086_11, MR 2282921
  32. Wooley, Trevor D. (1995), "Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour", Inventiones Mathematicae, 122 (3): 421—451, doi:10.1007/BF01231451, hdl:2027.42/46588, MR 1359599
  33. Wooley, Trevor D. (2000), "Sums of three cubes", Mathematika, 47 (1—2): 53–61 (2002), doi:10.1112/S0025579300015710, MR 1924487
  34. Wooley, Trevor D. (2015), "Sums of three cubes, II", Acta Arithmetica, 170 (1): 73—100, doi:10.4064/aa170-1-6, MR 3373831
  35. Richmond, H. W. (1923), "On analogues of Waring's problem for rational numbers", Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 21: 401—409, doi:10.1112/plms/s2-21.1.401, MR 1575369
  36. Davenport, H.; Landau, E. (1969), "On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers", Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, pp. 49—53, MR 0262198